Análisis de circuitos LIT empleando transformadas

  

CIRCUITOS EN FRECUENCIA

Capitulo 1.

  Análisis de circuitos LIT empleando transformadas Ing. Carlos E. Cotrino B. M Sc.

Rev. 2016-3 Francisco Carlos Calderón. M.Sc. Análisis de circuitos LIT empleando transformadas 1. OBJETIVOS

Preparar y ejecutar un plan para solucionar un problema (CDIO

2. 2.1.1.4) Generalizar suposiciones para obtener la respuesta bajo 3. condiciones restringidas. (CDIO 2.1.2.1) Identificar e interpretar modelos cualitativos y cuantitativos 4. (CDIO 2.1.2.4) Inferir el comportamiento del circuito a partir de 5. representaciones entrada – salida (CDIO 2.1.3.4) Computar y comparar soluciones (CDIO 2.1.5.1/4/5)

  Contenido Semana 3 1. Definir y aplicar el teorema de Convolución 2. Definir funciones de sistema.

  3. Evaluar funciones de sistema de circuitos LIT.

  4. Práctica: emplear MATLAB para analizar circuitos en el dominio de la frecuencia

Material para repasar

  Transformada de Laplace

  • Fracciones Parciales
  • Solución de ecuaciones diferenciales
  • empleando Laplace

  Clasificación de los sistemas en tiempo continuo 

  Sistemas lineales y no lineales: Un sistema lineal es aquel que cumple la propiedad de superposición.

  2

  

1

  1

  2 ax t ay t 1 ( ) es ( ) 1 2.

  La respuesta a Conocidas como las propiedades de aditividad y escalamiento u Homogeneidad Clasificación de los sistemas en tiempo continuo 

  Si el sistema es lineal, una entrada que sea

cero todo el tiempo resulta en una salida que

sea cero todo el tiempo. x t y t

  ( )  ( )

  x ( t )   y ( t ) 

   a b

  Sistemas lineales “deben cumplir”   t x 1   t x 2 H H a b

  • 2

     t x 1   t x 2 H   t y 3

  t x 3 Que sean iguales 1 Clasificación de los sistemas en tiempo continuo 

  Causalidad

  Sistema Causal: Si su salida en cualquier instante de tiempo depende sólo de los valores de la entrada en el momento presente y en el pasado. (No-anticipativo).

   CAUSAL:

   NO-CAUSAL:

       t x t y

       t x t y  Clasificación de los sistemas en tiempo continuo 

  Estabilidad

  Sistema Estable: Es aquel que a entradas acotadas produce salidas que no divergen.

   ESTABLE: sen(t). 

  NO-ESTABLE: 1/t , Sistemas Invariantes “deben cumplir” y t x t 1   1   H t y t t    1 o x t Que sean iguales x t 2   1   t

   H y t 2   

  Invariante en el tiempo

  Sistema Invariante en el tiempo: Si el comportamiento y características del mismo están fijos en el tiempo.

Convolución

  • Establece enlace entre las representaciones

    en el dominio del tiempo y dominio de la frecuencia
  • Consecuencia de la linealidad y la Invariancia

  • Teoría de Circuitos
  • Análisis de Señales
  • Teoría de Comunicaciones

  Las señales discretas pueden representarse por medio de una secuencia SLIT discretos. de impulsos, aplicando la propiedad: x n n a x a n a

           Dada una señal discreta x[n]   suma de impulsos desplazados x[n] puede escribirse como una x n x n x n x n

   ...   1   1  

1  

1 ...

            x n x k n k

        k    Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos H       n k h x y [k ] [n ]

    [  ] [n ] k H  

     

   

   x nx k nk y nx k h n      

k k   k     Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos El sistema además de ser lineal  [ nk ] h k [n ] también es invariante en el H tiempo entonces: h [ n ] h [ n k ] k   x [ n ] 1 x n 2 [ ]   t H y [ n ] 2 x [ n ] 1 H y [ n ] 1 y [ nk ] 1t

  Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos y nx k h n

  

  

k k     y nx k h nk

     k  Este resultado se conoce como la suma de convolución “suma de También representada como: superposición” y nx nh n Un sistema SLIT discreto puede caracterizarse totalmente con la

   respuesta al impulso unitario. Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo continuos De una manera parecida al caso discreto, se puede encontrar una caracterización para los SLIT en término de su respuesta al impulso unitario.

          

       k k t k x t x

           

       k k t k x lím t x

        

        d t x t x La salida y(t) puede verse como una combinación lineal de respuestas a las señales impulso ) (    t H ) , (  t h Y como mi sistema es invariante en el tiempo se tiene que:

  ] [ ] [ k n h n h k   ) ( ) , (

      t h t h Causalidad - relajado

Sistema es CAUSAL no hay respuesta para t

  • <  h(t,) = 0  t< y los tiempos  > t no cuentan: el límite superior se puede reemplazar por t.

    Sistema en ESTADO CERO O RELAJADO en

  •  t ; la salida y(t) t ≥ 0 es debida

  o

exclusivamente a u(t) y por lo tanto el límite

inferior de la integral se puede fijar como t . o Convolución Para un sistema lineal, causal , invariante y

  • relajado en t :

  o t y t h t u d

  ( )  (   ) (  )  t

Sistema invariante con el tiempo: la entrada

  • u aplicada en el instante (t + T) segundos

  o genera la salida y desplazada (t + T) o segundos. Convolución

Como el sistema esta relajado en t se puede

  • o

  elegir t = 0 o t y th tu d

  ( ) (  ) (  )  

  En sistemas invariantes la respuesta es

  • función de (t-): el tiempo transcurrido desde la aplicación de la excitación.

  Convolución

  • La integral de convolución es conmutable:
  • La respuesta es el área bajo la curva producto entre

  la entrada y la respuesta impulso desplazada ) ( * ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

  ) ( ) ( ) ( t u t h t y d h t u t y d u t h t y t t

      

    

        Demostración

  • Obtención de la respuesta en estado cero a partir de la respuesta impulso

  Ejemplo 12 La respuesta impulso de un sistema lineal e invariante es:

  − = [ ]1(t)

  Encontrar la respuesta en estado cero para una entrada: = 1( ) Usar la integral de convolución

  Teorema de convolución

  • Para sistemas LIT la transformada de Laplace de

  y(t):

  Y dt e d u t h dt e t y s st st          

    

  

  

  ) ( ) ( ) ( ) (   

  • Sistema causal:
  • Sistema en estado cero en t = 0 -

  Y dt e e d u t h s s t s  

  

    

         

     

    ) ( ) )( ( ) ( ) (       t t h

  ) ( Teorema de convolución

  • Intercambiando el orden de integración:
  • Cambio de variable:

      t      Y d e u dt e t h s s t s    

         

     

    ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

      Y d e u d e h s s s  

       

     

   ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Teorema de convolución Sistema relajado o en estado cero antes de la • aplicación de la excitación: h   

  (  )  Límites de la integral interna se pueden cambiar: •  

    s   s ( )

Y ( s )  h (  ) e ( d  ) u (  ) e d

       

               H s

( ) Teorema de convolución H(s) es independiente de τ :

  •  

  s Y s H s u e d

  ( )  ( ) (  )  

       U s ( ) Corresponde a: • Y s H s U s

  ( )  ( ) ( ) La convolución de dos funciones en el dominio t es • equivalente a multiplicar las transformadas de las funciones en el dominio s. Ejemplo 12 cont …

  • Resolver empleando el teorema de convolución en el dominio de Laplace.

  Modelo entrada - salida

  • La transformada de Laplace de la ecuación integro
    • – diferencial, con condiciones iniciales nulas (estado inicial = cero) lleva a:

  n n1 ( ... ) ( ) a sa s   a sa Y sn n m m 1 1 1

  ( b s b s ... b s b ) U ( s ) m m     1 1 Función de sistema

Relación entre la transformada de Laplace de

  • la respuesta en estado cero y la transformada de Laplace de la entrada:

  {Respuesta en estado cero} H s ( )  L  {Entrada} Sistema Función de L

m m

1 Y ( s ) b s b s ..... b s b m m     1 1 ( )

  H s  

n n 1 U ( s ) a sa s  .....  a sa n n 1 1 Respuesta impulso Respuesta Impulso: respuesta en

  • estado cero de un sistema LIT a un impulso.

    {Entrada} {  (t)}

  1 L L H s

  ( ) {h(t)} L Sistema Función de  La función de sistema es la

  • transformada de Laplace de h(t)

  Funciones racionales y propias Una función racional de s es el cociente de

  • dos polinomios de s con coeficientes reales. m m
  • 1 N s b s b s b s b

    ( )   .....  

    m m

    1

    1 F s ( )   n n 1 D s a s a s a s a

    ( )   .....  

    n n

    1

    1 Una función racional es propia si el grad
  • polinomio del numerador (m) es igual o menor

    que el grado del denominador (n): m ≤ n.

  Funciones propias y coprimas

Una función racional es estrictamente

  • si el grado del numerador es

  propia

menor que el grado del denominador: m

< n.

Ejemplo 13

  • Ecuación entrada-salida de un sistema LIT
  • Función de transferencia.
  • Propiedades de H(s). ) (
  • ) ( 4 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 2 2 t u dt t du t y dt t y d dt t y d    

      Polos y Ceros Polo: valores de s para los cuales la

    • función F(s) es indeterminada. Cero: valores de s para los cuales la
    • función F(s) es nula. Pueden estar ubicados en cualquier
    • >parte del plano complejo. Pueden estar en s = 0 y en s = ∞

      5 ( ) = ( + 1)( + 2)

      Polos y Ceros

    • 1
    • 2 + 1 ( + 3)
    Polos y Ceros

      5

    Función de sistema

      La excitación o entrada externa puede ser

    • voltaje, v(t), o corriente, i(t) La respuesta puede ser voltaje, v(t), o
    • corriente, i(t) Funciones en el punto de manejo: Variables
    • aplicadas y medidas en el mismo terminal. Funciones de transferencia: Variables
    • aplicadas y medidas en diferentes terminales

      Funciones en el punto de manejo

    • Cuando las variables se definen sobre el mismo par

      de terminales hay dos posibilidades:

    • Impedancia en el punto de manejo:
    • Admitancia en el punto de manejo:

      {Voltaje} } {Corriente Y(s) L

      L  } {Corriente {Voltaje}

      ) ( L L 

      Z s SOLO APLICA A SISTEMAS LINEALES E

    Función de transferencia

      Transadmit acia s V s

      I H s s V s

      V H s i o i o

      : ) ( ) ( ) (

      Transferen voltaje de cia : ) ( ) ( ) (

      2 1  

      SOLO APLICA A SISTEMAS LINEALES E

      ) ( ) ( Re ) ( ) (

      Excitación s s spuesta H s s G

        Función de transferencia Transferen corriente de cia : ) (

      ) (

    ) (

    Transimped ancia : ) (

      ) (

    ) (

      4 3

      s

      I s

      I H s s I s

      V H s i o i o

        ) ( ) ( Re

      ) ( ) ( Excitación s s spuesta

      H s s G   SOLO APLICA A SISTEMAS LINEALES E

    Ejemplo 14

      El amplificador • operacional es ideal. Evaluar las • función Vo(s)/Vin(s) Ejercicio: evaluar • la impedancia de entrada. Z(s) Ejercicio: Evaluar:

    • Z(s) = Vi(s)/I(s)
    • H(s) = V /V

      i

    • Graficar los diagrama de polos y ceros

      1 ) 2 ( 2  

        s s s s V V i o

    • Comparar los diagramas.

      1

      3

      5

      1 2 3 2       s s s s s I V i i Ejercicio

    La respuesta impulso (en voltaje) de un

    • circuito LIT es: ℎ = 5 ∙ 1 − 5 ∙ 1( − 2) Cual será el voltaje de salida si la
    • a. entrada es: b.

      3 ∙ 1 − 3 ∙ 1 − 2 (3cos(3 )) ∙ 1( ) Conceptos claves

    La transformada de Laplace sólo se

    • puede aplicar en sistemas lineales e invariantes con el tiempo (LIT) H(s) es la transformada de Laplace de
    • la respuesta impulso.

      Conceptos claves La función de transferencia sólo

    • aplica en sistemas lineales, invariantes con el tiempo y en estado cero. Convolución en el tiempo es
    • equivalente a multiplicación de las transformadas.

      Temas para el futuro Convolución y Transformada de Fourier

    • en Análisis de Señales. Funciones de sistemas : Análisis de
    • Señales y Sistemas Dinámicos.

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