TEORÍAS DE LA MEDIDA Y DE LA PROBABILIDAD

50 Teorías de la Medida y de la Probabilidad Colección manuales uex - 57

  

(E.E.E.S.)

  • Agustín

  57 García Nogales

  

TEORÍAS DE LA MEDIDA

Y DE LA PROBABILIDAD

MANUALES UEX

  

57

(E.E.E.S.)

  

TEORÍAS DE LA MEDIDA

Y DE LA PROBABILIDAD

AGUSTÍN GARCÍA NOGALES

  

La publicación del presente manual forma parte de las “Acciones para el Desarrollo

del Espacio Europeo de Educación Superior en la Universidad de Extremadura

Curso 2007/08” en el marco de la VI Convocatoria de Acciones para la Adaptación

de la UEX al Espacio Europeo de Educación Superior (Proyectos Pilotos: modali-

dad A1) del Vicerrectorado de Calidad y Formación Continua y financiada por la

Junta de Extremadura, el Ministerio de Educación y Ciencia y la Universidad de

Extremadura.

  FSE F o n d o S o c i a l E u ro p e o

  Edita Universidad de Extremadura. Servicio de Publicaciones C./ Caldereros, 2 - Planta 2ª - 10071 Cáceres (España) Telf. 927 257 041 - Fax 927 257 046 publicac@unex.es www.unex.es/publicaciones

ISSN 1135-870-X

  ISBN 978-84-691-6411-2 Depósito Legal M-45.182-2008 Edición electrónica: Pedro Cid, S.A.

  A María José y Carlos

A mis padres

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  AGUSTÍN GARCÍA NOGALES TEORÍAS DE LA MEDIDA Y DE LA PROBABILIDAD M A N U A LE S U EX

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  AGUSTÍN GARCÍA NOGALES TEORÍAS DE LA MEDIDA Y DE LA PROBABILIDAD M A N U A LE S U EX

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1 Cap´ıtulo

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  ❧❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐❞❛❞ s♦♥ ❞✐❢❡r❡♥t❡s✳ ❋✉❡ ❑♦❧♠♦❣♦r♦✈ q✉✐❡♥ ♣r♦♣✉s♦ ♣♦r ♣r✐♠❡r❛ ✈❡③ ✉♥ ♣✉♥t♦ ❞❡ ♣❛rt✐❞❛ ❢♦r♠❛❧ ❝♦♠ú♥ ♣❛r❛ ❛♠❜❛s t❡♦rí❛s ✭q✉❡ ❝♦♥s❡r✈❛♥ ❛ú♥ s✉s ♣r♦♣✐♦s ♦❜❥❡t✐✈♦s✮✳ ❉❡❜✐❞♦ ❛ ❡❧❧♦✱ s✉❜s✐st❡ ✉♥❛ ❞♦❜❧❡ t❡r♠✐♥♦❧♦❣í❛ ♣❛r❛ ♦❜❥❡t♦s ♠❛t❡♠át✐❝♦s ✐❞é♥t✐❝♦s q✉❡ ❝♦♠♣r♦❜❛r❡♠♦s ❡♥ r❡♣❡t✐❞❛s ♦❝❛s✐♦♥❡s ❛ ❧♦ ❧❛r❣♦ ❞❡ ❡st❡ ♠❛♥✉❛❧ ② q✉❡✱ ❞❡ ❤❡❝❤♦✱ ②❛ ❤❡♠♦s ❝♦♠♣r♦❜❛❞♦✿ s✐ ❡♥ t❡♦rí❛ ❞❡ ❧❛ ♠❡❞✐❞❛ ❧❧❛♠❛♠♦s ❝♦♥❥✉♥t♦s ♠❡❞✐❜❧❡s ❛ ❧♦s ❡❧❡♠❡♥t♦s ❞❡ ✉♥❛ σ✲á❧❣❡❜r❛✱ ❡♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐❞❛❞ ❧❡s ❧❧❛♠❛♠♦s s✉❝❡s♦s✳

  Pr♦♣♦s✐❝✐ó♥ ✶✳✶✳ ✭❛✮ ❙✐ A ❡s ✉♥ á❧❣❡❜r❛ ✭r❡s♣✳✱ σ✲á❧❣❡❜r❛✮ ❞❡ ♣❛rt❡s ❞❡ Ω✱ A ❡s

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  ✭❜✮ ❙✐ A ❡s ✉♥ á❧❣❡❜r❛ ❞❡ ♣❛rt❡s ❞❡ Ω✱ s❡rá t❛♠❜✐é♥ ✉♥❛ σ✲á❧❣❡❜r❛ s✐ ❛❞❡♠ás ❡s ❝❡rr❛❞❛ ❢r❡♥t❡ ❛ ✉♥✐♦♥❡s ♥✉♠❡r❛❜❧❡s ❝r❡❝✐❡♥t❡s ♦ ❢r❡♥t❡ ❛ ✉♥✐♦♥❡s ♥✉♠❡r❛❜❧❡s ❞✐s❥✉♥✲ t❛s✳ ❉❡♠♦str❛❝✐ó♥✳ ✭❛✮ ❚r✐✈✐❛❧✳

  ) A = B = C

  n n n n n n n n

  ✭❜✮ ❙✐ (A ❡s ✉♥❛ s✉❝❡s✐ó♥ ❡♥ A✱ ❡♥t♦♥❝❡s A := ∪ ∪ ∪ ❞♦♥❞❡

  n n−1

  B = A = A A , C

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  ∪ i=1 \ ∪ i=1 ∈ A✱

  ♣❛r❛ ❝❛❞❛ n✳ ❙✐ A s❡ s✉♣♦♥❡ ❡st❛❜❧❡ ❢r❡♥t❡ ❛ ✉♥✐♦♥❡s ♥✉♠❡r❛❜❧❡s ❝r❡❝✐❡♥t❡s ✭r❡s♣✳✱

  EX

  B C

  n n n n

  ❢r❡♥t❡ ❛ ✉♥✐♦♥❡s ♥✉♠❡r❛❜❧❡s ❞✐s❥✉♥t❛s✮ ❡♥t♦♥❝❡s A = ∪ ∈ A ✭r❡s♣✳✱ A = ∪ ∈

   U S

  A✮✳

  LE A U N

  ❆♥t❡s ❞❡ ✈❡r ❡❥❡♠♣❧♦s ❞❡ σ✲á❧❣❡❜r❛s✱ ♣r♦❜❛r❡♠♦s ✉♥❛ ♣r♦♣♦s✐❝✐ó♥ q✉❡ ♣r♦♣♦r❝✐♦♥❛

  A M

  ✉♥ ♠ét♦❞♦ ✭♣♦❝♦ ❞❡s❝r✐♣t✐✈♦✱ ♣❡r♦ ❢r❡❝✉❡♥t❡♠❡♥t❡ ✉t✐❧✐③❛❞♦✮ ♣❛r❛ ❝♦♥str✉✐r❧❛s✳

  ✶✸

  AGUSTÍN GARCÍA NOGALES TEORÍAS DE LA MEDIDA Y DE LA PROBABILIDAD Pr♦♣♦s✐❝✐ó♥ ✶✳✷✳ ▲❛ ✐♥t❡rs❡❝❝✐ó♥ ❛r❜✐tr❛r✐❛ ❞❡ σ✲á❧❣❡❜r❛s ❞❡ ♣❛rt❡s ❞❡ ✉♥ ❝♦♥❥✉♥t♦

  Ω ❡s ✉♥❛ σ✲á❧❣❡❜r❛ ❡♥ Ω✳ ❆sí✱ s✐ C ❡s ✉♥❛ ❢❛♠✐❧✐❛ ❞❡ ♣❛rt❡s ❞❡ Ω✱ ❡①✐st❡ ❧❛ ♠ás

  ♣❡q✉❡ñ❛ σ✲á❧❣❡❜r❛ ❡♥ Ω q✉❡ ❝♦♥t✐❡♥❡ ❛ C❀ ❧❛ ❧❧❛♠❛r❡♠♦s σ✲á❧❣❡❜r❛ ❡♥❣❡♥❞r❛❞❛ ♣♦r C ② ❧❛ ❞❡♥♦t❛r❡♠♦s σ(C)✳ ❉❡♠♦str❛❝✐ó♥✳ ▲❛ ♣r✐♠❡r❛ ❛✜r♠❛❝✐ó♥ ❡s tr✐✈✐❛❧✳ ▲❛ s❡❣✉♥❞❛ ❡s ❝♦♥s❡❝✉❡♥❝✐❛ ❞❡ ❧❛ ♣r✐♠❡r❛✱ ♣✉❡s σ(C) ❡s ❧❛ ✐♥t❡rs❡❝❝✐ó♥ ❞❡ t♦❞❛s ❧❛s σ✲á❧❣❡❜r❛s q✉❡ ❝♦♥t✐❡♥❡♥ ❛ C✱ ❝♦♥❥✉♥t♦ ❞❡ σ✲á❧❣❡❜r❛s q✉❡ ❡s ♥♦ ✈❛❝í♦ ♣✉❡s ❝♦♥t✐❡♥❡ ❛ ❧❛ σ✲á❧❣❡❜r❛ P(Ω) ❞❡ t♦❞♦s ❧♦s s✉❜❝♦♥❥✉♥t♦s ❞❡ Ω✳

  ❊❥❡♠♣❧♦ ✶✳✶✳ ✭σ✲á❧❣❡❜r❛ ❞✐s❝r❡t❛✮ ❊❧ ❝♦♥❥✉♥t♦ P(Ω) ❞❡ t♦❞♦s ❧♦s s✉❜❝♦♥❥✉♥t♦s ❞❡ Ω

  ❡s tr✐✈✐❛❧♠❡♥t❡ ✉♥❛ σ✲á❧❣❡❜r❛ ❡♥ Ω q✉❡ ❧❧❛♠❛r❡♠♦s ❞✐s❝r❡t❛✳ ◆♦ ♦❜st❛♥t❡✱ ❧❧❛♠❛r❡♠♦s ❡s♣❛❝✐♦ ♠❡❞✐❜❧❡ ❞✐s❝r❡t♦ ✉♥ ❝♦♥❥✉♥t♦ ♥✉♠❡r❛❜❧❡ ♣r♦✈✐st♦ ❞❡ ❧❛ σ✲á❧❣❡❜r❛ ❞❡ t♦❞❛s s✉s ♣❛rt❡s✳ ❊♥ ❧♦ q✉❡ s✐❣✉❡✱ ❝✉❛❧q✉✐❡r ❝♦♥❥✉♥t♦ ♥✉♠❡r❛❜❧❡ s❡ s✉♣♦♥❞rá ♣r♦✈✐st♦ ❞❡ ❧❛ σ

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  ❊❥❡♠♣❧♦ ✶✳✷✳ ✭σ✲á❧❣❡❜r❛ tr✐✈✐❛❧ ♦ ❣r♦s❡r❛✮ {∅, Ω} ❡s ❧❛ ♠ás ♣❡q✉❡ñ❛ σ✲á❧❣❡❜r❛ q✉❡

  ♣♦❞❡♠♦s ❝♦♥s✐❞❡r❛r ❡♥ Ω✳ ❙❡ ❧❧❛♠❛rá σ✲á❧❣❡❜r❛ ❣r♦s❡r❛ ♦ σ✲á❧❣❡❜r❛ tr✐✈✐❛❧✳

  ❊❥❡♠♣❧♦ ✶✳✸✳ ❙✐ A ❡s ✉♥ s✉❜❝♦♥❥✉♥t♦ ❞❡ Ω✱ ❧❛ ♠ás ♣❡q✉❡ñ❛ σ✲á❧❣❡❜r❛ q✉❡ ❝♦♥t✐❡♥❡ c

  , Ω , . . . , A

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  ❛ A ❡s {∅, A, A }✳ ❙✐ A ❡s ✉♥❛ ♣❛rt✐❝✐ó♥ ✜♥✐t❛ ❞❡ Ω ✭❡s ❞❡❝✐r✱ s✉❜❝♦♥❥✉♥t♦s ❞♦s ❛ ❞♦s ❞✐s❥✉♥t♦s q✉❡ r❡❝✉❜r❡♥ Ω✮✱ ❡♥t♦♥❝❡s ❧❛ ♠ás ♣❡q✉❡ñ❛ σ✲á❧❣❡❜r❛ q✉❡ ❝♦♥t✐❡♥❡ ❛ ❧♦s A i ❡stá ❢♦r♠❛❞❛ ♣♦r ❡❧ ❝♦♥❥✉♥t♦ ✈❛❝í♦ ② ❧❛s ✉♥✐♦♥❡s ✜♥✐t❛s ❞❡ A i ✬s✳

  n ❊❥❡♠♣❧♦ ✶✳✹✳ ✭σ✲á❧❣❡❜r❛ ❞❡ ❇♦r❡❧✮ ▲❛ σ✲á❧❣❡❜r❛ ❞❡ ❇♦r❡❧ ❞❡ R ✱ q✉❡ ❞❡♥♦t❛r❡♠♦s n

  ♣♦r R ✭♦✱ s✐♠♣❧❡♠❡♥t❡✱ R s✐ n = 1✮✱ s❡ ❞❡✜♥❡ ❝♦♠♦ ❧❛ σ✲á❧❣❡❜r❛ ❡♥❣❡♥❞r❛❞❛ ♣♦r ❧♦s

  

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  n n n EX

  x R ∈ ¯ ✳ ❆♥á❧♦❣❛♠❡♥t❡ s❡ ❞❡✜♥❡ ❧❛ σ✲á❧❣❡❜r❛ ¯ R ❞❡ ❇♦r❡❧ ❡♥ ¯R ✳ ❊♥ ❧♦ q✉❡ s✐❣✉❡✱ ¯R

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  ✶✹ ❈❆P❮❚❯▲❖ ✶✳ ❊❙P❆❈■❖❙ ▼❊❉■❇▲❊❙

  AGUSTÍN GARCÍA NOGALES TEORÍAS DE LA MEDIDA Y DE LA PROBABILIDAD i , i )

  ❊❥❡♠♣❧♦ ✶✳✼✳ ✭σ✲á❧❣❡❜r❛ ♣r♦❞✉❝t♦✮ ❙❡❛♥ (Ω A ✱ i = 1, 2✱ ❡s♣❛❝✐♦s ♠❡❞✐❜❧❡s ② ❤❛❣❛✲

  1

  2

  1

  2

  ♠♦s Ω = Ω ×Ω ✳ ❯♥ r❡❝tá♥❣✉❧♦ ♠❡❞✐❜❧❡ ❡♥ Ω ❡s ✉♥ ❝♦♥❥✉♥t♦ ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❛ A ×A ❝♦♥ A i i

  ∈ A ✱ i = 1, 2✳ ▲❛ ❢❛♠✐❧✐❛ ❞❡ ❧♦s r❡❝tá♥❣✉❧♦s ♠❡❞✐❜❧❡s ♥♦ ❡s ✉♥❛ σ✲á❧❣❡❜r❛✱ s❛❧✈♦ ❡♥ ❝❛s♦s tr✐✈✐❛❧❡s ✭✈❡r Pr♦❜❧❡♠❛ ❧❛ σ✲á❧❣❡❜r❛ ❡♥❣❡♥❞r❛❞❛ ♣♦r ❡❧❧♦s s❡ ❧❧❛♠❛rá σ

  1

  2

  ✲á❧❣❡❜r❛ ♣r♦❞✉❝t♦ ② s❡ ❞❡♥♦t❛rá A ×A ✳ ❆♥á❧♦❣❛♠❡♥t❡ s❡ ❞❡✜♥❡ ❡❧ ♣r♦❞✉❝t♦ ❞❡ ✉♥❛ , )

  ❝❛♥t✐❞❛❞ ✜♥✐t❛ ❞❡ ❡s♣❛❝✐♦s ♠❡❞✐❜❧❡s✳ ❙✐ (Ω i i ❡s ✉♥❛ ❢❛♠✐❧✐❛ ❞❡ ❡s♣❛❝✐♦s ♠❡❞✐❜❧❡s A i∈I

  Ω

  i i

  ② Ω = Q ✱ ❧❧❛♠❛r❡♠♦s σ✲á❧❣❡❜r❛ ♣r♦❞✉❝t♦ ❡♥ Ω✱ ② ❧❛ ❞❡♥♦t❛r❡♠♦s Q A ✱ ❧❛

  i∈I i∈I

  σ ✲á❧❣❡❜r❛ ❡♥❣❡♥❞r❛❞❛ ♣♦r ❧♦s r❡❝tá♥❣✉❧♦s ♠❡❞✐❜❧❡s ✭❞❡❢✳✿ ✉♥ r❡❝tá♥❣✉❧♦ ♠❡❞✐❜❧❡ ❡♥

  Ω A = Ω

  i i i i i

  ❡s ✉♥ ♣r♦❞✉❝t♦ ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❛ Q ✱ ❞♦♥❞❡ A ∈ A ✱ ∀i ② A s✐ i ∈ I \ I

  i∈I n

  ♣❛r❛ ✉♥ ❝✐❡rt♦ s✉❜❝♦♥❥✉♥t♦ ✜♥✐t♦ I ❞❡ I✮✳ ▲❛ σ✲á❧❣❡❜r❛ ❞❡ ❇♦r❡❧ ❡♥ R ❝♦✐♥❝✐❞❡ ❝♦♥

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  ❡❧ ♣r♦❞✉❝t♦ ❞❡ n ❝♦♣✐❛s ❞❡ ❧❛ ❞❡ ❇♦r❡❧ ❡♥ R❀ ❧❛ ♥♦t❛❝✐ó♥ R ✉t✐❧✐③❛❞❛ ♣❛r❛ ❡❧❧❛ ♥♦ ♣✉❡❞❡ ❞❛r ❧✉❣❛r ❛ ❝♦♥❢✉s✐ó♥✳

  ❊❥❡♠♣❧♦ ✶✳✽✳ ✭σ✲á❧❣❡❜r❛ ✐♥❞✉❝✐❞❛ ❡♥ ✉♥ s✉❜❡s♣❛❝✐♦✮ ❙✐ (Ω, A) ❡s ✉♥ ❡s♣❛❝✐♦ ♠❡❞✐❜❧❡

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  B

  ② B ❡s ✉♥ s✉❜❝♦♥❥✉♥t♦ ♥♦ ✈❛❝í♦ ❞❡ Ω ❡♥t♦♥❝❡s A {A ∩ B : A ∈ A} ❡s ✉♥❛ σ✲

  B

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  ❊❥❡♠♣❧♦ ✶✳✾✳ ✭❙✉❜✲σ✲á❧❣❡❜r❛✮ ❙✐ (Ω, A) ❡s ✉♥ ❡s♣❛❝✐♦ ♠❡❞✐❜❧❡ ② B ❡s ✉♥❛ σ✲á❧❣❡❜r❛

  ❡♥ Ω t❛❧ q✉❡ B ⊂ A✱ ❞✐r❡♠♦s q✉❡ B ❡s ✉♥❛ s✉❜✲σ✲á❧❣❡❜r❛ ❞❡ A✳ P♦r ❡❥❡♠♣❧♦✱

  c

  , R {∅, [0, 1], [0, 1] } ❡s ✉♥❛ s✉❜✲σ✲á❧❣❡❜r❛ ❞❡ R✱ ② ést❛ ❧♦ ❡s ❞❡ P(R) ✭✈❡r Pr♦❜❧❡✲ ♠❛

  ❊❧ t❡♦r❡♠❛ s✐❣✉✐❡♥t❡ ❡s ✉♥ r❡s✉❧t❛❞♦ ❞❡ ❉②♥❦✐♥ q✉❡ s❡ ✉t✐❧✐③❛ ♣❛r❛ s✐♠♣❧✐✜❝❛r ❡❧

  

  tr❛❜❛❥♦ ❞❡ ♣r♦❜❛r s✐ ✉♥❛ ❝✐❡rt❛ ❢❛♠✐❧✐❛ ❞❡ s✉❜❝♦♥❥✉♥t♦s ❞❡ Ω ❡s ✉♥❛ σ

  ❊❋■◆■❈■Ó◆ ❉ ✶✳✷✳ ❙❡❛ C ✉♥❛ ❢❛♠✐❧✐❛ ❞❡ s✉❜❝♦♥❥✉♥t♦s ❞❡ Ω✳

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