Motion in Two Dimensions

  TEMA 3– CI NEMÁTI CA ( 2 DI MENSI ONS) Curso 2011-12

  Toni Rama

  Acknowledgements: I would like to thank Prof. Wenda Cao from Physics

  Department of the New Jersey’s Science & Technology University (NJIT) for letting me use some of his slides.

  INDEX 1. Repàs – Int roducció (MRU – MRUA amb 2D i 3D).

  2. Relat ivit at del moviment .

  3. Traj ect òria en 2D. y=f (x).

  4. Moviment parabòlic.

  5 Moviment Circular Unif orme (MCU)

  2 5. Moviment Circular Unif orme (MCU).

  6. Moviment Circular Unif ormement Accelerat (MCUA).

  OBJECTIUS DIDÀCTICS • Relat ivit at del moviment i sist emes de ref erència en moviment .

  • Est udiar el moviment parabòlic com a exemple de moviment en dues dimensions.
  • Est udiar el moviment circular unif orme (MCU) i el moviment circular unif ormement accelerat .

  3 Motion in Two Dimensions ‰

  Go over vector and vector algebra Di l t d iti i 2 D ‰

  Displacement and position in 2-D ‰

  Average and instantaneous velocity in 2-D ‰

  Average and instantaneous acceleration in 2-D ‰

  Projectile motion ‰

  Uniform circle motion September 22, 2008

  ‰ Relative velocity

  • =
  • = y x

  Position: x(t) m „ Velocity: v(t) m/ s Motion in two dimensions „ Velocity: v(t) m/ s „ Acceleration: a(t) m/ s 2

  ‰ All are vectors: have direction and magnitudes x

z

k j z y x

  September 22, 2008 /

  ˆ ˆ ˆ ) ( + + = r

  k a j a i a t a z y x

  ) (

  ˆ ˆ ˆ

  y i j x k z j y i x t r

  ˆ ˆ ˆ ) (

  ‰ Kinematic variables in three dimensions „ Position: m „ Velocity: m/ s „ Acceleration: m/ s 2 k v j v i v t v z y x

  θ tan or tan θ ‰ Kinematic variables in one dimension „

  − x y x y y x A A A A 1

  ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = =

  ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎟⎟

  September 22, 2008

Or,

  A A A 2 2 r

  ( ) ( ) ⎪⎪ ⎧

  ⎨ ⎧ θ = θ =

  whose hypotenuse is A ) sin( A A ) cos( A A y x

  A A A r r r

  Vector and its components ‰ The components are the legs of the right triangle y x

  • = r
  • = r

  ) (

  September 22, 2008 ‰ v is tangent to the path in x-y graph; j v i v j dt i dt dt v y x

  ‰ Average velocity Average & I nstantaneous Velocity y x

  ˆ ˆ ˆ ˆ

  j v i v j dy i dx r d v

  Δ = r

  Δ

  j v i v j t y i t x v , y avg x avg avg ,

  = ≡ → → t lim lim

  Δ Δ

  r r r r =

  ‰ I nstantaneous velocity dt r d t r v v t avg

  ≡ r r

  Δ Δ

  t r v avg

  ˆ ˆ ˆ ˆ Δ Δ

  r r r = Δ

  Δ + Δ = − + − =

  ˆ ˆ ( 1 2 1 2 1 1 2 2

  ˆ ˆ ( )

  ) ( )

  ) ( ˆ

  ˆ ˆ ˆ

  September 22, 2008 „ Displacement: j y i x j y y i x x j y i x j y i x r

  ) (t r r 1 2 r r r r r r − = Δ r r r r r r − = Δ

  ‰ I n two dimensions „ Position: the position of an object is described by its position vector always points to particle from origin. „ Displacement: x 1 (t 1 ) 3.0 m, x 2 (t 2 ) 1.0 m ∆x = +1.0 m + 3.0 m = +4.0 m

  − = Δ

  t x t x x

  ) ( ) ( 1 1 2 2

  Position and Displacement

  ‰ I n one dimension x 1 (t 1 ) = - 3.0 m x 2 (t 2 ) = + 1.0 m

  • − + = Δ r
  • 1 2

    • Δ
    • = Δ
    • = + = = r r
    • = + = =

      INTRODUCCIÓ Posicions Negatives SISTEMA DE REFERÈNCIA 1D Posicions Positives Δ x < Δ x >

      Eix horitzontal

      r X r r X Δ r = Δ x = Δ x i A B X B referència (0) O: Origen de Δ y Δ y > > O: Origen de

      Eix vertical referència (0) r r r

      Δ r = Δ y = Δ y j Δ y < X A 9 INTRODUCCIÓ SISTEMA DE REFERÈNCIA 2D

      y x

      

    r r

    r r r Δ r = Δ Δ + + x y = Δ x i Δ y j 10

      INTRODUCCIÓ SISTEMA DE REFERÈNCIA 2D

      y

      r r Δ r a r b

      x

      r r r r r Δ + + r = Δ x Δ y = Δ x i Δ y j 11 INTRODUCCIÓ

      SISTEMA DE REFERÈNCIA 3D

      z z

      r r Δ r b r a

      y x

      

    r r r

    r r r r

    • Δ + + = Δ Δ Δ = Δ + Δ Δ r x y z x i y j z k
    • 12
    • Vector posició: Es t ract a del vect or que va des de l’ origen de ref erència f ins a una cert a posició. E l D t l t A(2 3 1) i l t B(1 0 1) i ó l • Exemple: Donat el punt A(2, 3, -1) i el punt B(1, 0, 1), quin són els vect ors posicions? I el desplaçament ? I la velocit at mit j ana si ha t rigat 2s en arribar d’ un punt a l’ alt re?

      3 t r r t r v m A B m r r r r r

      1

      ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

      − −

      ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

      ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

      − =

      ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

      1 r r r A B ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

      2

      = − = Δ r r r ⎟ ⎞

      3

      1

      1

      3

      2

      m

      [ ]

      ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

      ⎜ ⎛ − 1

      = − = Δ r

      Δ Δ

      2

      2

      1 v s m

      2

      3 iˆ

      2

      = s m kˆ jˆ

      − =

      14

      = Δ

      ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

      ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

      ⎢⎣ ⎡

      ⎥⎦ ⎤

      ⎢⎣ ⎡

      ⎥⎦ ⎤

      Magnituds bàsiques

      ⎜ ⎜ ⎝

      ⎜ ⎜ ⎛

      3

      = r [ ]

      m

      3

      1

      3

      2

      1 r r r ⎟ ⎟ ⎞

      ⎜ ⎜ ⎛ −

      = ⎟ ⎟ ⎞

      ⎜ ⎜ ⎛

      ⎟ ⎟ ⎞

      − ⎟ ⎟ ⎠

      = = Δ r r r

      1⎠ ⎝

      1

      2 r A − + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

      2 m

      1 r B + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

      [ ] ] m [ kˆ jˆ 3 iˆ

      [ ]

      Magnituds bàsiques

      2

      3

      1

      3

      1 r r r A B

      ⎟ ⎟ ⎠

      ⎜ ⎜ ⎝+

      − = ⎟ ⎟ ⎠

      ⎜ ⎜ ⎝−

      ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −

    • − − = Δ

      13 [ ]

      ] m [ kˆ iˆ m

      1

      ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = r

      ] m [ kˆ 2 jˆ 3 iˆ r m

    • Vector posició: Es t ract a del vect or que va des de l’ origen de ref erència f ins a una cert a posició. E l D l t A(2 3 1) i l t B(1 0 2) i ó l • Exemple: Dona el punt A(2, 3, -1) i el punt B(1, 0, 2), quin són els vect ors posicions? I el desplaçament ? I la velocit at mit j ana si ha t rigat 2s en arribar d’ un punt a l’ alt re?
      • − − =
      Motion of a Turtle A turtle starts at the origin and moves with the speed of v = 10 cm/ s in the direction of 25 to the horizontal.

      ° (a) Find the coordinates of a turtle 10 seconds later.

      (b) How far did the turtle walk in 10 seconds? September 22, 2008 Motion of a Turtle

      Notice, you can solve the equations independently for the horizontal (x) and vertical (y) components of motion and then combine them! then combine them! r r r

      = x y ‰ X components: o v v cos

    • v v v

      25 9 . 06 cm / s Δ x = v t = 90 . 6 cm x = = x ‰ ‰ Y components: Y components o sin

      25 4 . 23 / Δ y = v t = 42 . 3 cm v = v = cm s y y

      ‰ Distance from the origin: 2 2

      = Δ Δ = September 22, 2008

    • d x y 100 . cm
    Average & I nstantaneous Acceleration

      r r v

      ‰ Average acceleration Δ a avgt

      Δ Δ Δ v v r Δ Δ v v x y

      ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

      a = i j = a i a j avg avg , x avg , y + +

      Δ t Δ t

      ‰ I nstantaneous acceleration

      r r r

      dv

      r r Δ v d v r d v dv x y ˆ ˆ ˆ ˆ lim lim

      aa = = + + a = = i j = a i a j t → t avg x y

    dt dt dt

      Δ t dt

      ‰ The magnitude of the velocity (the speed) can change ‰ The direction of the velocity can change, even though the magnitude is constant

      ‰ Both the magnitude and the direction can change September 22, 2008 Moviment Rectilini Uniforme (MRU)

    EQUACIONS MOVIMENT RECTILINI UNIFORME (MRU) (3 COMPONENTS)

      r r r r rr m o ⎡ ⎡m ⎤ ⎤ v const

      = = Velocitat t t

      − s o

      ⎢⎣ ⎥⎦ r r r

      = ⋅ − m [ ] o o

    • Posició-desplaçament r r v ( t t )

      = = ⋅ − + r x ( t ) x v ( t t ) x o x o y o y o + r = y ( t ) = y v ⋅ ( tt )

    • = = ⋅ −

      r z ( t ) z v ( t t ) z o z o

      ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ r

      m ⎡ ⎤

      = a ⎜ ⎟

      Acceleració 18

      2 ⎜ ⎟

      s

      ⎝ ⎠

      ⎢⎣ ⎥⎦

    • t t a v v =
      • El moviment depèn del punt de vist a, es a dir, depèn del sist ema de ref erència que t riem.
      • En el sist ema S l’ obj ect e f a un moviment rect ilini unif orme (MRU).

      ) ( o y oy yt t a v v ⋅ + =

      Relativitat del moviment

      2 r r r r r − = − ⋅ ⇒

      ) v v r t ( r a

      ( ) ( ) 2 o 2

      r 19

      a a a a

      = z y x

      ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

      ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

      ) ( − t t a v v + = r v r

      ) ( o z oy zt t a v v ⋅ + =

      ) ( o x ox x

      Moviment Rectilini Uniformement Accelerat (MRUA) EQUACIONS MOVIMENT RECTILINI UNIFORMEMENT ACCELERAT (MRUA) (3 COMPONENTS)

      1 ) ( − t t a t t v r r ⋅ + − + = r r r r

      2

      − ⋅ + − ⋅ + = 2 ) (

      1 ) ( ) ( t t a t t v z t z z z

      2

      1 ) ( ) ( − ⋅ + − ⋅ + = t t a t t v y t y y y 2 ) (

      2

      − ⋅ + − ⋅ + = 2 ) (

      1 ) ( ) ( t t a t t v x t x x x

      2

      ) (

      1

    ) ( t t a v v − ⋅ + =

    2

      20 • En el sist ema S’ l’ obj ect e est à en repòs.

      Relativitat del moviment

    • El moviment depèn del punt de vist a, es a dir, depèn del sist ema de ref erència que t riem.
    • >En el sist ema S la pilot a f a un moviment parabòlic (
    • Podem relacionar les magnituds del moviment dels dos sistemes

      21 • En el sist ema S’ la pilot a f a un moviment de caiguda lliure (MRUA).

      de referència? Canvi de sistema de referència

    • CAS 1: Sist ema de ref erència S est à en repòs, i sist ema S’ est à en moviment (velocit at const ant MRU).

      y y’ O y

      S x

      O’ y S’ x’ v’ o

      22 Δ t v x =

      ' t v x Δ = Δ

    '

    o v v

      ' =

      Canvi de sistema de referència

      CAS 2: Sist ema de ref erència S est à en repòs, sist ema S’ est à en • moviment (velocit at const ant MRU) i mòbil amb velocit at en el mat eix sent it que el sist ema de ref erència. y y’

      S S’

      v’ o v’

      x x’ O O’

      ' ' x x ' v ' t ( ' ' ) x = x v Δ t Δ = Δ Δ x = v v Δ t + + + 23

      = ' v Canvi de sistema de referència

    • v v '

      CAS 3: Sist ema de ref erència S est à en moviment (MRU), i sist ema • S’ est à en moviment (velocit at const ant MRU). y y y y’

      S S’ v v’ o o

      y y ' = v’

      No hi ha moviment en y

      x x’ O O’

    • ' ( ' )

      x x ' ( v ' v ) t x = x v − Δ v t Δ = Δ − Δ v v ' ( v ' v )

      = − + 24

      Canvi de sistema de referència

      CAS 4: Sist ema de ref erència S est à en repòs, sist ema S’ est à en • moviment (velocit at const ant MRU) i mòbil amb velocit at en el sent it perpendicular al sist ema de ref erència.

      

    ' '

    y = v Δ t

    y y’ y Moviment S’ S del mòbil v ’ y

      ' x =

      ' y =

      x x’ Moviment

      O’ O v’ v o de S’ de S

    ' ' ' '

    x x = v v Δ Δ t t

      ' ' y = y = v Δ t y

      

    ( ' , ' )

    v = v v y

      ' ' x = x = v Δ t 25 Canvi de sistema de referència

      CAS 4: Sist ema de ref erència S est à en repòs, sist ema S’ est à en • moviment (velocit at const ant MRU) i mòbil amb velocit at en el sent it perpendicular al sist ema de ref erència.

      v ’ y ' ' y y v t

      = = Δ y

      y y’ S S’

      ' ' x x v t

      = = Δ Δr

    r

      x x’ v ( v ' , v ' )

      = y

      O O’

      v v’ o r r ( x , y ) ( v ' t , v ' t )

      Δ = Δ Δ = Δ Δ y r 2 2 2 2 ( ' ) ( ' ) ' '

      Δ = Δ + Δ = ⋅ Δ = ⋅ Δ + r v t v t v v t v t y y 26

      Canvi de sistema de referència ACTIVITATS DEURES Llibre McGraw Hill p.77 Exemples 1 Llibre McGraw Hill p.79-80 Exemple 2-3

      I Important Equació de la trajectòria t t E ió d l t j tò i Relative Motion/ Reference Frames r r r PA PB BA + r = r r r r r r

      v = v v v = const PA PB BA BA r r = a a PA PB

    • and .

      ‰ Assume the following notation: „ P is an observer, stationary with „ respect to the earth A and B are two moving objects September 22, 2008

      September 22, 2008 September 22, 2008

      Repàs: Magnituds bàsiques Trajectòria: Es t ract a del camí que segueix un obj ect e des que • comença a moure’ s f ins que s’ at ura.

      Posició Inicial Posició Final 31 Trajectòria 2D Exemples:

    • y =

      f ) (x

      Tipus de moviment s: • y

    • X

      MRU

    • Y • Equació de la t raj ect òria:

    MRU MRU

      y = m m ⋅ x

      x

      v

      y

      m = v

      x 32

      Trajectòria 2D Exemples:y f )

      = (x

      Tipus de moviment s: • y

    • X

      MRUA

    • Y • Equació de la t raj ect òria:

    MRU MRU

      2

      2

      y = a ⋅ x

      x

      33 Trajectòria 2D Exemples:

    • y =

      f ) (x

      Tipus de moviment s: • y

    • X

      MRU

    • Y • Equació de la t raj ect òria:

    MRUA MRUA

      2

      2

      y = a ⋅ x

      x

      34

      MOVIMENT PARABÒLIC

      Moviment amb una t raj ect òria parabòlica. Es t ract a d’ un moviment • en 2D.

      35 MOVIMENT PARABÒLIC

    • Proj ect ile mot ion paramet ers: y ‰ x and y are the initial positions.

      ‰ v is the initial velocity v ‰

      α is the angle of the projectile v 0y motion .

      α

      y

      v 0x v = v cos α

      x

      v = v sin α

      y x x x

      36

      MOVIMENT PARABÒLIC

      Can you help Jon t o score a basket ball by comput ing t he init ial • velocit y which he should t hrow t he ball? x

      37 Projectile Motion ‰ 2-D problem and define a coordinate system: x- horizontal, y- vertical (up + )

      ‰ Try to pick x = 0, y = 0 at t = 0 (usually and if possible) and if possible)

      ‰ Horizontal motion + Vertical motion

      ‰ Horizontal: a = 0 , constant velocity x motion 2

      ‰ Vertical: a = -g = -9.8 m/s , v = 0 y 0y ‰ Equations: Horizontal Vertical

    • y y v t gt
    • f i iy = − 2 v = v a t y y y v = v x x 1

      21 2<

    • yy = v t a t x = + x v t x y 2 y September 22, 2008
    Projectile Motion ‰ X and Y motions happen independently, so we can treat them separately v = vgt v = v x x y y

    • 1
    • 2x = x v t x y = y v tgt y 2 Horizontal Vertical ‰ Try to pick x = 0, y = 0 at t = 0 ‰

        Horizontal motion + Vertical motion a = 0 ,

        ‰ Horizontal: constant velocity y x x motion 2

        ‰ Vertical: a = -g = -9.8 m/s y ‰ x and y are connected by time t ‰ y(x) is a parabola September 22, 2008

        Projectile Motion ‰ 2-D problem and define a coordinate system.

        ‰ Horizontal: a = 0 and vertical: a = -g. x y ‰ Try to pick x = 0, y = 0 at t = 0. ‰ Velocity initial conditions: „ v x, y can have components. „ v v = v = v cos θ x x „ v v = v sin θ x is constant. y changes continuously. y

        ‰ Equations: Horizontal Vertical v = vgt t v = v x x y y 1 2

        x v t x y = y v tgt y 2 September 22, 2008

      • x = +
      Trajectory of Projectile Motion ‰ I nitial conditions ( t = 0 ): x = 0, y =

        0 v = v cos and v = v sin 0x 0y θ θ ‰ ‰ Horizontal motion: Horizontal motion: x

      • x = v tt = x

        v x ‰

        Vertical motion: 1 2

      • y = v tgt y
      • 2 2

          ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

          x g x y = vy

          ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

          v

          2 vx ⎠ ⎝ x

          g g 2 y = x tan x

          θ − 2 2 2 v cos θ

          ‰ Parabola; „ = 0 and = 90 ? θ θ September 22, 2008

          What is R and h ? ‰ t = 0 x = 0, y =

          I nitial conditions ( ): 0 v = v cos v = v sin 0x θ 0x θ and , then 1 2 x x = v v t t = = + + v v t tgt gt h h

        • x y
        • 2

            2 v y 2 v sin θ t = = g g 2

            2 v cos v sin v sin

            2 θ θ θ

            R = xx = v t = = x g g 2 1 2 ⎛ ⎞ t g t h = yy = v tgt = vy h h y 2 ⎜ ⎟

            2

            2

            2 ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ 2 2 Horizontal Vertical

            v sin θ h = v = vgt v v

            2 g = y y x x 2 v y 1 2

            v = vgt = vg = − v x x v t y y v t gt y y y y x y = = − + + 2 g September 22, 2008

            Maximum value of R

            ‰ A long jumper leaves the ground at an angle of φ above the horizontal with a certain speed. I f we neglect the effect of air resistance and treat the long neglect the effect of air resistance and treat the long jumper as a particle, which angle makes him to jump 2 maximum distance? v sin

            2 φ

            R

            =

            g = 0

            A) φ °

            B) φ = 30 °

            = 45

            C) φ °

            D) φ = 60 °

            φ = 90

            E) φ ° September 22, 2008

            Projectile Motion at Various I nitial Angles

            2

            ‰ Complementary v sin 2 φ φ

          R R =

          values of the initial l f th i iti l g angle result in the same range

            „ The heights will be different

            ‰ ‰ The maximum range The maximum range occurs at a projection o angle of 45 September 22, 2008

            Moviment circular

          • Per descriure el moviment circular necessit arem unes mesures que no sigui el desplaçament j a que aquest NO proporciona inf ormació sobre el gir.

            45 Moviment circular

          • Hi ha dues possibilit at s per descriure el moviment circular:

            ARC ANGLE • Mesura d’ espai (conegut per nosalt res).

          • Depèn del Radi (a més radi, més arc).
          • No depèn del Radi.

            46 • Mesura de posició com a angle (radians).

          • Hi ha dues possibilit at s per descriure el moviment circular:

            ? vuelta

            Moviment circular

            ?

          ARC ANGLE

            1

            2 ⇒ π ] [

            1 T s vuelta

            47 ] [ 2 s T R

            

          ⋅ ρ =

          Moviment circular

          • També exist iran dues maneres de descriure la velocit at :

            ARC ANGLE Velocitat Lineal Velocitat Angular s v

            Δ = ⎥ ⎤

            ⎢ ⎡ ρ Δ ω rad

            48 R v

          ⋅ ω =

          t v

            Δ = ⎥⎦ ⎢⎣ Δ

            ρ = ω s t

            ⇒ π

          R s

            Moviment circular

          • També exist iran dues maneres de descriure la velocit at :

            ARC ANGLE Velocitat Lineal Velocitat Angular s v

            Δ = ⎥ ⎤

            ⎢ ⎡ ρ Δ ω rad

            49 t v

            Δ = ⎥⎦ ⎢⎣ Δ

            ρ = ω s t

            Moviment circular

          • Un MCU t é una acceleració?
          • SI, j a que la velocit at canvia de direcció; tot i que el mòdul es

            constant!!! constant!!!

            50

            Moviment circular

          • Equacions del Moviment Circular Unif orme (MCU)
          • Un MCU t é una acceleració normal o cent rípet a (a n ). DEMO 1.

            ) t t ( ω + ρ = ρ ⎧ − ⋅ ω + ⋅ ρ = ⋅ ρ

            ) t t ( r r r ) t t ( − ω + ρ = ρ ⎩

            ⎨ ⎧ ⋅ ω = ⋅ ω + ⋅ ρ = ⋅ ρ r v ) t t ( r r r cte = ω

            ) t t ( v s s − + = cte v =

            51 Moviment circular

            Triangles equivalents!!

            v v v v

            

          R

          r B

            Δ = Δ =

            

          Δ

          r v Δ Δ

            52 R t v t ⋅ Δ =

            ⋅ Δ R v v a n

            = R v a n

            2 =

            Moviment circular

            Un MCU t é una acceleració normal o cent rípet a (a ). DEMO 2. • n

            2 R π ⎫ v

            =

            2 ⎪

            2 R 2 v π π T v

            ⇒ = ⇒ ⎬ a =

            2 v n π v a 53 a ⎪ R

            = T ⎭

            Moviment circular

          • Equacions del Moviment Circular Unif orme (MCU)
            • a a n

            ( ( t t t t ) ) ρ ρ + = = ρ ρ ω ω − cte ω =

          • s s v ( t t ) = − v cte =

            2 v m

            2 ⎡ ⎤ a = = ω ⋅ v = ω ⋅ R n

          2 R s

            ⎢⎣ ⎥⎦ 54

            Moviment circular

          • Paràmet res addicionals import ant s del MCU

            PERIODE (T): Temps que triga en donar una volta sencera FREQÜÈNCIA( f): Número de voltes per unitat de temps (voltes que

            dona en un segon).

            2 1 Δ ρ π f Hz

            = [ ] [ ]

            2

          ω = = = π f f

          T T

            

          Δ Δ t T T

          ω pot donar-se en rad/s o rpm (revolucions per minut)!!!! 55 Moviment circular

          • RESUM equacions del Moviment Circular Unif orme (MCU)

            1 f f

            = s = ρ ρ ⋅ R

            ω = vR ( ( t t t t ) ) ρ ρ = = ρ ρ ω ω − + +

            T T cte ω = a n 2 π ω =

            T = − v cte

          • s s v ( t t )

            =

            2 v m

            ⎡ ⎤ a

            = n

          2 R s

            ⎢⎣ ⎥⎦ 56

            Moviment Circular Uniformement Accelerat

            Un MCUA es un moviment circular que varia la seva velocitat angular. • Tenim per t ant una acceleració angular que el que f a es variar el • mòdul de la velocit at . mòdul de la velocit at .

            Hi haurà per t ant dos • acceleracions:

          • Acceleració Normal (a ): n direcció i sent it cap al cent re de la circumf erència.
          • Acceleració Tangencial (a ): T que f a girar cada cop més ràpid o més lent l’ obj ect e.

            r r r r r

            2 r

            2 a a a =

          a a a

          n T = n T 57 Moviment Circular Uniformement Accelerat

            Un MCUA es un moviment circular que varia la seva velocitat angular. • Tenim per t ant una acceleració angular que el que f a es variar el • mòdul de la velocit at . mòdul de la velocit at .

            10m 20m

            58

            Moviment Circular Uniformement Accelerat

            Un MCUA es un moviment circular que varia la seva velocitat angular. • Tenim per t ant una •

            

          acceleració angular que el que f a es variar la

          velocitat angular. velocitat angular.

            Donat un interval concret, l’angle recorregut cada cop es més gran. t=1s t=1s t=1s Δ ω rad

            ⎡ ⎤ α =

            2

            2

            Δ Δ t s ⎢⎣ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎥⎦ Acceleració Angular 59 Moviment Circular Uniformement Accelerat

            Un MCUA es un moviment circular que varia la seva velocitat angular. • Tenim per t ant una acceleració angular que el que f a es variar la velocitat angular. velocitat angular.

            Donat un interval concret, l’arc recorregut cada cop es més gran. t=1s t=1s

            Δ v m t=1s

            ⎡ ⎤ a =

            T T

            2

            2

            Δ Δ t s ⎢⎣ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎥⎦ Acceleració Tangencial 60

          • Tenim per t ant una
          • Equacions del Moviment Circular Uniformement Accelerat (MCUA)

            2 ) ( ) ( ρ ρ ) t t (

            T − + = R a

            2 = ) t t ( a v v

            62 R v a n

            − + − + = ) t t (

            1 ) t t ( a ) t t ( v s s T

            2

            2

            − α + ω = ω

            1 ) t t ( ) t t ( − α + − ω + ρ = ρ

            Moviment Circular Uniformement Accelerat • Un MCUA es un moviment circular que varia la seva velocitat angular.

            2

            2

            ⋅ α = Moviment circular

            R a T

            61 Acceleració Tangencial Acceleració Angular

            ⋅ ω =

            ARC ANGLE Velocitat Lineal Velocitat Angular R s ⋅ ρ = R v

            

          acceleració angular que el que f a es variar la

          velocitat angular. velocitat angular.

            T ⋅ α =

Mostrar más