Guía de Matemática I 2013

  

Matemática I

1era versión Enero 2008 Autores: Lic. León Patiño Prof. José Neptalí Lugo Ing. Luis González Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo Consolidando el Plan de Transformación Rumbo al Plan Estratégico 2014 - 2019 ¡Chávez Vive, la Lucha Sigue! Agosto 2013

  Plan de Transformación de la ENAHP-IUT 2009-2013 Un Sistema de Gestión con Visión Socialista Impulsando la Refundación del Estado Venezuela. Teléfonos: 0212 232.32.31 – Av. Francisco de Miranda entre Av. Diego Cisneros y Calle Los Laboratorios Edif. ENAHP-IUT, Los Cortijos de Lourdes. Caracas

  Prefacio

  En estos tiempos la importancia de la Matemática hace imperativo conocer algo de naturaleza y función de la Matemática.

  Quizá sea más fácil ver por qué estudiar Matemática si se detiene a considerar por un momento en qué consiste la Matemática.

  La Matemática se ocupa primero que nada de lo que pueda realizarse mediante el razonamiento, y viene la primera observación ¿Por qué debo aprender a razonar?, no hace falta para comer, vestirse, compartir con el sexo opuesto y hasta lograr un alcanzar un alto cargo en el trabajo; el hombre supo alimentarse, vestirse y protegerse de la intemperie muchos siglos antes que apareciera la Matemática

  Para muchos, la Matemática es una manera de someter a prueba la capacidad intelectual, a manera de ejemplo; dos parejas tienen que cruzar un río en un bote donde sólo caben dos personas ¿Cómo deben hacer para que en ningún momento queden juntos la mujer con el hombre de la otra pareja? Este acertijo es de la época de los griegos y los romanos y según Tartaglia, quien vivió en el siglo XVI, refiere que eran pasatiempos de sobremesa.

  Ahondar históricamente sobre la importancia de saber y aprender Matemática, convertiría esta introducción en un libro aparte de la Guía que hemos elaborado para incentivarte en el estudio y comprensión de por qué se debe estudiar y aprender Matemática.

  Esta Guía, que modestamente hemos elaborado, lo que pretende es darte las herramientas necesarias para una introducción a la Matemática Universitaria. No pretende sustituir a ningún libro que puedas usar como texto en el Curso de Matemática I y Matemática II, pero será de gran ayuda para mantenerte muy claro en lo que debes conocer, saber y aprender para hacer más tranquilo y placentero los cursos de Matemática que debes asistir.

  Te daremos algunas sugerencias que te podrán ayudar para lograr ser un buen estudiante de Matemática.

  1. Haz tu mayor esfuerzo para seguir las explicaciones que da tu profesor en clase.

  2. Pregunta en clase sin miedo, no postergues tus dudas.

  3. Presta atención a las preguntas que hacen tus compañeros de clases, pueden ser tus dudas.

  4. La asistencia a clases es muy importante, la inasistencia duplica tu esfuerzo.

  5. Realiza las tareas en el momento que te las asignan, así podrás tener claro lo que se pide.

  6. Al copiar tus clases, anotas cualquier dato que pueda ayudarte a comprender mejor lo visto.

  7. Si no comprendes alguna explicación, pregunta, pregunta a tu profesor hasta que te quede claro.

  8. Haz un cronograma de estudio y cúmplelo.

  9. Recuerda: Matemática es 90% teoría y 10% práctica, por lo que se te sugiere leer y comprender la teoría, para hacer más sencilla la práctica.

  10. Al analizar un ejemplo, intenta resolverlo sin ver la solución de otro ejemplo.

  11. Recuerda lo siguiente: si quieres ser un buen estudiante en Matemática, primero tienes que tener la disposición para serlo.

  Ten presente estas máximas: MATEMÁTICA: es una ciencia que establece relación entre símbolos y se agota en ser instrumento de otras ciencias.

  (J. Romero) Quien no sabe a dónde va, ningún viento le es favorable. (Séneca).

  Aprender sin pensar es inútil, pensar sin aprender es peligroso. (Confucio).

  Las cosas pueden ser tan sencillas como se quiera, pero no más sencillas. (Einstein) Los Autores.

  Dedicatoria

Dedico esta guía a todos los estudiantes, hombres y mujeres que harán de

esta nación una PATRIA GRANDE.

  Índice Pág.

  I Inecuaciones

  7 Ejercicios y Problemas resueltos

  10 Ejercicios y Problemas propuestos

  26 II Geometría Plana

  39 Ejercicios y Problemas resueltos

  45 Ejercicios y Problemas propuestos

  50 III Funciones

  60 Ejercicios y Problemas resueltos

  72 Ejercicios propuestos

  74 Ejercicios y Problemas propuestos

  81 IV Límites y Continuidad

  88 Ejercicios propuestos

  90 Ejercicios propuestos

  91 Ejercicios propuestos

  93 Ejercicios resueltos 103 Ejercicios y Problemas propuestos 112

INECUACIONES LINEALES

  

Ecuaciones Inecuaciones

Igualdades ( = ) Desigualdades ( < ,  ; > , 

  )

  

De primer grado

  3x 3x

  • – 2 = 1 – 2 < 1

  x

  

  1

  x

  

  1 = 4

  > 4

  2

  2

   x

  • y = 24

   x

  • y  24
    • 2x + 1 = x – 3
    • 2x + 1  x
      • – 3 Resolver una inecuación significa hallar los valores que deben tomar las incógnitas para que se cumpla la desigualdad.

  Propiedades. Sean a, b y c números reales: 1) Si a < b y c cualquier número real, entonces: a + c < b + c.

  2) Si a < b y c un número positivo, entonces: a * c < b * c. 3) Si a < b y c un número negativo, entonces: a * c > b * c.

  Ejemplos:

  Resolver: a) 3 x

  • – 2 < 1 Despejando Aplicando propiedades

  3x 3 x

  • – 2 < 1 – 2 < 1 3 x < 1 + 2 3 x – 2 + 2 < 1 + 2 3 x < 3

  1

  1 3 x <

  3

   x < 3 : 3

  3

  3

   x x

  < 1 < 1 Solución: S = ( -  , 1 ) Representación gráfica:

  b)

  • 2 x + 1  x – 3
  • 2 x + 1  x - 3
  • 2 x - x  - 3 - 1
  • 3 x  - 4 x  - 4 : (- 3)

  4 x

  3

  4 Solución: S = [ , +  )

  3 Representación gráfica: Las inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo.

  Ejemplo:

  Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta? En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación: Peso de la furgoneta - peso de 4 cajones no es menor que 415 kg 875 - 4 . x  415

  Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos:

w Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad - 4 . x  415 - 875

w

  • 4 . x  - 460

  Hacemos el cálculo en el segundo miembro

  1 w

  Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por -

  4

  (Cuidado: como multiplicamos por un número negativo,

  1   x    460 

  debemos cambiar el sentido de la desigualdad)   

  4   w

  Hacemos el cálculo x  115

  Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, x > 0. Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo (0 , 115]. Graficamos la solución en la recta real:

  

Ejercicios y Problemas resueltos

  1 (- 4,∞)

  2

  3 3x-7 > 5-2x-4

  12-4x- 9 ≥ x-6-4x

  • 4x- x+4x ≥ -6-12+9

  4

  5 6x+4x+4 < 4x-10-12 6x < -26 x < -26/6 x < -13/3 x ≤ 16

  • x ≥ -16
  • 16x-5x-4x-6x > -4-24-4 31x < 32 x < 32/31

  20.6-4(2x+1)

  6

  • 5x

  ≤ -35 x ≥ 7

  7

  8

  9

  10

  11

  12

  13

  14

  15

  16

  3x-1

  2

  x > 5/7

  17 x

  2

  • x-6 > 0

  x

  2

  • x-6 = 0 x

  2

  • x-6 = 0 x

  2

  • x-6 > 0

  18

  x-5 + 2x > 1 3 2

  x-5 + 2x > 1 3 2

  19 2x-4+6<3x+9+6x

   xϵ(-1,∞)

  3x+y ≤ 0

  20 3x+y =0 x=1entonces y =-3, B(1,-3)

  3.1+1 ≤ 0

  21

  Ejercicios y Problemas propuestos

1. Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solución en la recta real:

a) 2 x - 3 < 4 - 2 x b) 5 + 3 x  4

  • x c) 4 - 2 t &gt; t - 5

  a a 1 

  2 

  1

  

 

x

  d) + 8  3 x + 1 e) 2 .  x  &gt; 3 x f )  -

  2

 

  4

  3

  x x x

  • 5 x

  6

  g)

   

  h) 3 . ( 4 - x ) &gt; 18 x + 5 i)

  5 - 3 x - 12 

  4

  3

  2

  6

  x x xxx

  5

  1

  5

  2

  8

  14

  j)

    

  2

  4 - - - k) l) x - 2 -

  &gt; 0

  4

  3

  6

  3

  4

  2

  x x

  1

  

1

  1

  7     x m)  

  • 2  n)  -

  2 x  3  - 4 .  x     

  • 3

  2

  4

  2 7    

  2. ¿Cuáles son los números cuyo triplo excede a su duplo en más de 20?

  • 2 &lt; 3 x + 1?

  3 8   y cc)

  1 2 .    y y gg) x x

  2

  10 4 .

  2 5    y y ff)

  

21

  5    y ee)

  6

  3

  4

  3    x dd)

  4

  5

  8

  9    x bb) 2 .

  8

  8

  18 3 .   x aa) 1 .

  9   t z)

  81

   x y)

   x) 3 8 

  3 2   

  1

  3   x x w) x x x x

  2

  2    x x v)

  1

  3

  2

  3

  3

  1

  3  3   y y ll)  

  10. En un curso de matemática habrá cinco exámenes. Para alcanzar una calificación de B,

  9 6   y

  8 c)

  2 5    y y

  3

  8

  3 b)

  5 2    y

  10

  a)

  9. Determinar si el número indicado es una solución de la desigualdad.

  1

2 

  x x

  3 3    x x nn)

   5  y y mm)

  5 4    m m kk)   

  8

  14

  2

  3 4    y y jj)  

  2

  9

  2

  

5

  2     ii)    

  3

  13

  4

  10

  1

  1 3     hh) x x x 25 .

  4     x x x u)

  3

  se necesitan al menos 400 puntos. Tus calificaciones en los primeros cuatro exámenes han sido 91, 86, 73, y 79. ¿Qué puntuación necesitas en el último examen para alcanzar una B?

  4 2   x

  5

   h)

  2

  7

  3

  4

     

  7 2    x x g) x x

  9

   f)

  6 2    x x

  10

   e)

   d)

  5

  3 2    x x

  10

  9  x 2   c)

  17

  7 2   x b)

  15

  a)

  8. Resolver las siguientes inecuaciones:

  7. Determinar: { x / x  R  2 x - 4 &gt; 0 }  { x / x  R  3 - x  0 }

  3 ]  [3 , + ) . Determinar A  B.

  2

  6. Sean A = { x/x  R  x + 1 &lt; 4 } y B = (-  ,

  4. ¿Cuáles son los números cuyo triplo excede a su duplo en más de 20? 5. ¿Cuál es el menor número entero múltiplo de 4, que satisface la siguiente inecuación: x + 2 &lt; 3 x + 1?

  3. ¿Cuál es el menor número entero múltiplo de 4, que satisface la siguiente inecuación: x

  3 4  x i)

  

8

  4

  6 5    x x n)  

  1

    

  2     x x x t)

  4

  10

    

  3 2 3 4    x x x s)

  2

  1 r)

  

  3 8   x x q) x x

  2

  2 7   x x p)  

   8  x x o)  

  2

  3

  1

  9 2    x x m)   

  1

    

  7    x x l)

  2

      k)   

  8 x x x

  3

  4

  2

  5

  2    x x j)

  6

  • 3

  11. En tu nuevo empleo te ofrecen dos planes de pagos distintos.

  Plan A: Un salario mensual de $600 más una comisión de 4% sobre el total de ventas. Plan B: Un salario mensual de $800 más una comisión de 6% sobre el total de ventas una vez rebasados los $10000.

  ¿Para qué cantidad del total de ventas es mejor el plan A que el Plan B, suponiendo que el total de ventas es siempre superior a los 10000 dólares?

  

12. Un automóvil se renta por $13.95 diarios más $0.10 por milla. Tu presupuesto diario

  para la renta de automóviles es de $76.00. ¿Para qué millaje te puedes mantener dentro del presupuesto?

  

13. Vas a invertir $25000, una parte al 14% y otra al 16%. ¿Cuál es la máxima cantidad que

  puedes invertir al 14% para hacer que el pago de intereses al cabo de un año sea al menos $3600?

  

14. Vas a invertir $20000, una parte al 12% y otra al 16%. ¿Cuál es la máxima cantidad que

  puedes invertir al 12% a fin de que el interés al cabo de un año sea al menos $3000? 15. En tu nuevo trabajo te pueden pagar de dos formas distintas. Plan A: Un salario mensual de $500 más una comisión de 4% sobre el total de ventas. Plan B: Un salario mensual de $750 más una comisión de 5% sobre las ventas que superen los $8000. ¿Para qué monto de ventas totales es mejor el plan B que el Plan A, suponiendo que el total de ventas es siempre superior a los 8000 dólares?

  16. Representar gráficamente.

  5

  a)

  1  x  6  y

3 

7  y   3  9  x  

  b)

  c)

  d) 17. Resolver las siguientes inecuaciones.

  a)  2  x  2  8  1  x  1 

  35

  b)

  6 1  y 2  5  9  10  3 x  5   1  5   3 x  20  

  c)

  d)

  e)

  

2

  2

  2

  2 x

  f) 4 a  2  a  1  3 a  4     3 x  4  5 x  5  3 x

  g)

  h)

  

15

  3

  5

  15      i) x 6 x 4 x 1 x

  3      

  18. Resolver y representar gráficamente.

  a) x

  3

   b) x

  5

   c) x

  2

   d) t

5 .

  5

   e) m

   f) 2 x  3 

  4

   g) 2 y  7 

  10 3  4  8  5  9  16  7  3 

  4 3  4   2  6  

  8

  h) y i) m j) t k) x l) x

  5

  1

  1

  3 m) x 3  n) 1  x  8  o) x  5  x p) 2  x  1  5 q) x  1  x

  3

  9

  6

  4

  4

  19. Hallar y representar en la recta los números reales que verifican:

  a)

  x - 4 &gt; 2 b)x + 2  3 c) 4 - x &gt; 0 d) 0 &lt; x + 3 &lt; 1

  1

  e)

  0 &lt; x - 3 &lt;

  f) 12 - 4 x &gt; 3 g) 4 x - 3  5 h) - 3 x + 6 &lt; 2

  4

  1

  i)

  1 + 2 x  j) 3 - x  - 5  0 k) - 2 x + 1 + 8 &lt; 0

  2 20.

  21.

  22.

  23.

  24.

  25.

  26.

  Resolver los ejercicios 3-2 del 1 al 20 del libro de Arya

  • – Lardner (3° edición) Resolver los ejercicios 2.3 del 1 al 13 del libro de Haeussler (8° edición)

  Distancia entre Dos Puntos del Plano

  Sean P

  1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) dos puntos en el plano.

  La distancia entre los puntos P

  1 y P 2 denotada por d = está dada por:

  (1)

  Coordenadas del Punto Medio de un segmento

  Considerando el segmento cuyos extremos son los puntos P

  1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ),

  las coordenadas e representan las coordenadas del punto medio del segmento .

  INCLINACIÓN DE UNA RECTA Definiciones

  a) El ángulo  , (0°     ) que forma una recta L con el eje x medido en el sentido positivo del eje a la derecha L, se llama: ANGULO DE INCLINACIÓN de la recta L b) Si L es una recta no vertical, la PENDIENTE de la recta L, denotada por m, se define como el valor de la tangente de su ángulo de inclinación. Es decir, (1). (fig. 1)

   Siendo , (0°       ) ,  El número m se conoce también con el nombre de

  2 COEFICIENTE ANGULAR de la recta L Observaciones: 1) Si la recta L es vertical, su ángulo de inclinación es 90º y por lo tanto su pendiente m = tan 90º no está definida.

  (a) (b) fig. 1 2) Si P

  1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) son dos puntos distintos sobre una recta no vertical L

  (fig. 3 (b)), entonces de acuerdo a la definición de pendiente se tiene: (2) Las expresiones (1) y (2) son equivalentes y en lo sucesivo haremos uso indistinto.

  3) El nombre de pendiente de una recta está justificado. Cuando se dice que un camino tiene la pendiente 5%, significa que por cada 100 unidades horizontales asciende 5 unidades, es decir, el cociente de las ordenadas por las abscisas correspondientes es 5/100.

  4) La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, según el ángulo de inclinación de la recta, así:

  o

  Si entonces m= 0 (fig. 2. (a)) Ө= 0

  o o

  Si 0 &lt; entonces m &gt; 0 (fig. 2. (b)) Ө&lt; 90

  º o

  Si 90 &lt; Ө&lt; 180 entonces m &lt; 0 (fig. 2. (c)) fig. 2 5) El valor de la pendiente de una recta no depende de la elección particular de los puntos P

  1 y P 2 escogidos sobre ellas.

  Dados 3 puntos P

  1 , P 2 y P 3 del plano, se dice que son COLINEALES si y solo si, la

  pendiente determinada por P

  1 y P 2 es igual a la determinada por P 2 y P 3 .

  Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 )

  Sea l la recta que pasa por los puntos P

  1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) y llámese m 1 su

  pendiente. Como l pasa por el punto P

  1 (x 1 , y 1 ) y tiene pendiente m 1 , se tiene que:

  y – y

  1 = m 1 (x – x1) (1) representa la ecuación de dicha recta.

  Ahora, como el punto P (x , y ) l, entonces satisface su ecuación.

  2

  2

  2 Esto es y 2 – y 1 = ; de donde (2)

  Sustituyendo (2) en (1) se obtiene (3) La ecuación (3) se conoce como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta.

  Observaciones

  A) La ecuación (2) proporciona el valor de la pendiente m y la ecuación (3) también puede escribirse en la forma:

  Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:

  B) Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P

  1 (x 1 y 1 ) entonces la

  ecuación de la resta (3) también puede escribirse en forma de determinante, así: = 0.

   Ecuación segmentaria de la línea recta

  Considere la recta L de la cual conocemos los intersecciones a y b con los ejes x e y respectivamente (fig. 3) fig. 3. Como L pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la sección la ecuación de l viene dada por:

  Es decir, de donde . Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene:

  (1) La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LAS INTERSECCIONES de la línea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en (1) y = 0, resulta x = a (Intersección con el eje x); x = 0, resulta x = b (Intersección con el eje y) La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y.

  La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1), A, B, C R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una línea recta.

  

ANGULO ENTRE DOS RECTAS. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO

ENTRE RECTAS

  Sean l

  1 y l 2 dos rectas no verticales con pendientes m 1 y m 2 respectivamente. Entonces:

  1) l

  1 es paralela a l 2 (l 1 || l 2 ) m 1 = m

  2

  2) l

  1 es perpendicular a l 2 (l 1 l 2 ) m 1 . m 2 = -1

  Ejercicios y Problemas resueltos

  1

  2

  3

  4

  5

  6 (Resp. 3p = q+550)

  7

  

Ejercicios y Problemas propuestos

  

1. Encontrar la longitud y la pendiente de los segmentos de recta que une cada par de

  puntos:

  a) (3, -2) y (9, 6) b) (4, -3) y (-1, 9) c) (8, -4) y (-7, 4) d) (5, -8) y (-7, 8).

  

2. Demostrar que los puntos A(6, 1), B(1, 7) y C(-4, 1) son los vértices de un triángulo

isósceles.

  3. Igual que el ejercicio 2 con los puntos A(8, 9), B(-6, 1) y C(0, -5).

  4. Dado el cuadrilátero cuyos vértices son P 1 (-7, 7), P 2 (2, 0), P 3 (10, 3) y P 4 (1, 10).

  Encontrar la longitud de sus cuatro lados y demostrar que es un paralelogramo.

  5. Demostrar que los puntos P 1 (0, 5), P 2 (6, -3) y P 3 (3, 6), son vértices de un triángulo rectángulo. Hallar su área.

  6. Si la pendiente de la recta que une los puntos:

  a)

  A(X

  1 , -1) y B(2, 5) es 3, encontrar X 1 .

b) A(6, -1) y B(10, Y 1 ) es , encontrar Y 1.

7. Los vértices de un triángulo son los puntos A(3, 5), B(-5, 1) y C(1, 7).

a) Localizar los puntos medios de los lados.

  b) Localizar el punto de intersección de las medianas.

  c) Demostrar que el segmento que une los puntos medios de cualquier par de lados es paralelo al tercer lado y es la mitad de su longitud.

  

8. Tres vértices de un paralelogramo son los puntos (1, -2), (7, 3) y (-2, 2). Encontrar el

cuarto vértice.

  

9. Localizar los vértices de un triángulo sabiendo que los puntos medios de los lados son

los puntos (2, -1), (8, 4) y (-1, 3).

  

10. Sabiendo que las coordenadas de los vértices de un triángulo son A(-4, 8), B(3, -6),

  hallar las coordenadas del tercer vértice sabiendo además que las coordenadas donde se cortan las medianas es G(2, 6).

  

11. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos:

a) 0(0, 0), A(9, 2) y B(1, 4) es rectángulo.

  b) A(8, -1), B(-6, 1) y C(2, -7) es rectángulo.

  12. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 3) y cuya pendiente es 2.

  

13. Encontrar la ecuación de la recta que pasando por el punto (1/3, 2/3) tenga pendiente

infinita. 14. ¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a la recta de ecuación: 2x

  • – 3y + 7 = 0 en el punto medio del segmento comprendido entre los ejes coordenados?

  15. Encontrar las áreas de los triángulos cuyos vértices son:

  a)

  (0, 0), (2, 4) y (-1, 6) b) (-2, -1), (-4, -6) y (-1, -3) c) (3, 4), (-2, 1) y (1, -5) 16. Considere el triángulo cuyos vértices son los puntos A(0, 0), B(0, 3) y C(1, 2).

  a) Encuentre las ecuaciones de las medianas.

  b) Encuentre las ecuaciones de las alturas.

  c) Encuentre las ecuaciones de las mediatrices del triángulo.

  d) Localice el baricentro, ortocentro, baricentro y el circuncentro del triángulo.

17. Se dan los puntos: A(2,7) y B(6,4). Se pide

  vale la ordenada en el origen?

     ? i) ¿En qué punto corta la recta dada a otra recta de ecuación

  ¿Qué ecuación tiene una recta que pase por el punto P(-1,3) y sea perpendicular a la recta dada?

  k)

  ¿Qué ecuación tiene una recta que pase por el origen y sea paralela a la recta dada?

  j)

  qué?

     ? ¿Por

  6 8 1 0 x y

  h) ¿En qué punto corta la recta dada a otra recta de ecuación 4 2 0 x y

  b)

  g) ¿En qué punto corta la recta al Eje Y?

  ¿En qué punto corta la recta al Eje X?

  f)

  Si un punto de ordenada -4 pertenece a la recta, ¿Cuánto vale su abscisa?

  e)

  d) Si un punto de abscisa 3 pertenece a la recta, ¿Cuánto vale su ordenada?

  

a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A y B, en su forma reducida. ¿Cuánto

  Escribir la ecuación en la forma general, ¿cuánto valen A, B y C?

  c) Verificar si el punto M (2,7), pertenece a la recta.

  

Punto Medio de un Segmento

  

18. Encuentra las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son

  

1

  3 , 5 y 4 ,  7 ,

      . Respuesta:  1  

  

2

  AB

  19. Sean los puntos A (-3,5) y B (0,- 4), halla el punto medio del segmento .

  

20. Encuentra las coordenadas del punto medio de cada uno de los siguientes segmentos

cuyos extremos se indican.

  a)  4 , 7 y 3 , 

  9

   b)  2 , y 3 ,

   c) a , b y a ,  b

   d) c , d y c , d                

  21. Encuentra el otro extremo de un segmento que tiene por extremo al punto  3  , 7  y por 

  punto medio 

  7 , 3  .

  

Distancia entre dos Puntos

8 ,

  

7

3 , 

  5

  22. Encuentra la distancia entre los puntos y

  13     . Respuesta: 23. Encuentra la distancia entre los puntos que se indican.

     y   

  2

   b) ,

  7 3 ,

  4

  5

   e) , y a , b                    

  a) 2 , 2 y 2 ,

   c) a , 3 y 2 a ,

   d) 5 , 2 k y 3 , k

  f) 2 , 3 y   ,

   g) a , b ya , b

   h) cd , cd y cd , dc    

       

La Recta

  2

  5   

  24. La ecuación de la recta que pasa por los puntos  0,   y  ,  es: ?

  3

  2     x

  15 

  10 y

  Respuesta:

  4

  25. La ecuación de la recta que pasa por el punto  3  , 2 

  y es perpendicular a la recta que

  x  9 

  7  y

  pasa por los puntos  1  ,

  3  y   8 , 7 es: ? Respuesta:

  10

  26. La ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1,7) y B (-3,2) es: ? Respuesta:

  5x - 4y + 23 = 0

  

27. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-2) y es perpendicular a la recta

3x + 4y = 5.

  

28. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,5) y es perpendicular a la recta

2x + y = -3.

   8 , 6 ; 3 ,

  6

  29. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos     .

  

30. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-2) y es perpendicular a la recta

que pasa por los puntos (-1,-3) y (3,7).

  

31. Si dos rectas no se cortan en ningún punto del plano que las contiene, entonces las

  rectas son:

  a)

  Secantes

  b)

  Perpendiculares

  c)

  Paralelas

d) De distinta dirección

  e)

  Alabeadas

  

32. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales? Si una ecuación no es lineal, di por

qué. 3

  3    17   

  a) xy

  9

   b) 2 r

  7 4 s

   c) 4 x  7 y

   e) q

   f) 4 x

  3 p 33. Representa gráficamente.

   d) 8 x y y

  5 4 xy 5 

  20 2 xy 6   2 y  2 x y   x yx x  4 y   3 y

  a)

   b)

   c)

  

d)

   e)

   f)

   g)

   h)

  2

  2 i) 3 y  9  j) 3 x  15  k) .

4 y  . 004 x   .

04 l) x   7  y

  3

  11 34. Calcula la pendiente, si existe, de la recta que pasa por cada par de puntos.

  

  1 1  

  3 3  5 , y 6 ,

  8 4 , y 7 , 3 , 8 y 3 , 8 , y  5 ,  6 , y ,

  a)    

   b)    

   c)    

   d)    

   e)    

  2

  4

  2

  4     

  3 1 

  1 1 

 

  f)  ,  y    , 

  4

  4        

g) 3 . 2 , 12 . 8 y 3 . 2 , 2 .

   h) 16 . 3 , 12 . 4 y 8 . 3 , 12 .

  5

  2

  5

  2    

35. En caso de que exista, calcula la pendiente de cada una de las siguientes rectas.

   7   5  6 

15 

12  4  7 

  a) x

   b) y

  3

   c) x

   d) x

   e) 5  y

  6

   f) y 6 

  14        g)

  12 4 x 9 x

  5 9 y 2 x

   h) 3 y 2 x

  

36. Encuentra la ecuación de la recta que contiene al punto dado con la pendiente indicada.

  1 3 , 2 ; 

  4 4 , 7 ;   2  5 ,  2 ;   1  2 ,  4 ;  3 m

  a) m

   b) m

   c) m

   d) m

   e)   6 , 4  ;         

  2

  4 m ,  7 ; m

   g)  

  f)   3 ,  1 ;  

  3 37. Determina si los tres puntos son colineales.

  A   B C    1 , 1     , 2 , 2 , 3 , 4  a

  

38. Determina el número de modo que la pendiente de la recta que pasa por los dos

puntos tenga el valor indicado.

  5 a a m

    2 , 3   , 4 ,   ;  

  12  100 , 4 y , 39. Una recta pasa por los puntos     . Enumera otros cuatro puntos de la recta.

  2  ,

  3

  

40. Encuentra una ecuación de la recta que pasa por   y tiene la misma pendiente que

3 xy 4 

  10 la recta .

  3  , 4 

  2

  

41. Encuentra una ecuación de la recta que pasa por   y tiene pendiente . Si la recta

a , 8 y 5 , b a y b contiene a los puntos     , encuentra .

  

42. Escribe una ecuación de la recta que tiene abscisa al origen de -3 y ordenada al origen

de 2/5.

  43. Determina si las gráficas de cada par de ecuaciones son rectas paralelas.

   x   yy   xyx

  4

  4

  3

  4

  5

  a)

   b)

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