Joaqu´ın Retamosa Granado ´ Alvaro Tejero Cantero Pablo Ruiz M´ uzquiz

  ´ Alvaro Tejero Cantero Pablo Ruiz M´ uzquiz

  libro abierto / serie apuntes Joaqu´ın Retamosa Granado

  Introducci´ on a la f´ısica cu´ antica segunda parte

  ::::1.1.0

  • –0.4 –0.2
  • 0.2 0.4 y –0.4 –0.2 0.2 0.4 x

      IF C

      1 A L Q

    2 Introducci´ on a la f´ısica cu´ antica 539.

      † lomo para ediciones impresas

      

    Joaqu´ın Retamosa Granado

    ´

      

    Alvaro Tejero Cantero

    Introducci´ on a la f´ısica cu´ antica

    versi´ on 1.1.0

    15 de abril de 2004 made in community alqua, c

    c o p y l e f t

    Copyright (c) 2004 Joaqu´ın Retamosa Granado, ´ Alvaro Tejero Cantero and Pablo Ruiz M´ uzquiz.

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      Serie apuntes ´

      Area f´ısica cu´antica CDU 539.1 Editores

      ´ Alvaro Tejero Cantero

      Notas de producci´ on

      ´Indice general

      I

      VI

      VII

      

      1

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

      1

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

      7 . . . . . . . . . . . .

      8

       . . . . . . . . . . . . . . 10

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

       . . . . . . . . . 17

       . . . . . . . . . . . . 18

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

      

      31

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

       . . . . . . . . 31

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

      

      

      

      

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

       . . . . . . . . . . . 47

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

       . . . . . . . . . . . . . . . . 55

      ´

      INDICE GENERAL

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

       . . . . . . . 57

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

      

      67

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

       . . . . . . . . . . . . . . 77

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

       . . . . . . . . . . . 80

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

      

      91

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

       . . . . . . . . . . . . . . . . 91

       . . . . . . . . . . . . . . 93

       . . . . . . . . . . . . . . . 97

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

       . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

    • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

      

       . . . . . . . . 107

    • . . . . . . . . . . 110

      

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

       . . . . . . . 116

       . . . . . . . . . 120

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Introducci´ on a la f´ısica cu´ antica - 1.1.0

      ´

      INDICE GENERAL

      

    125

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

      

      151

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

       . . . . . . . . . . . . . . . . 157

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

       . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

      

      177

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

       . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

       . . . . . . . . 178

       . . . . . . . . . . . . . . . 182

       . . . . . . . . . . . . . . 182

       . . . . . . . . . . 185

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

       . . . . . . . . 193

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

      

      205

      ´

    INDICE GENERAL

      

      207

      

      209

      

      

      

      213

      

      217

      

      221

      Introducci´ on a la f´ısica cu´ antica - 1.1.0

    1. Pre´ ambulo te´ orico

    1.1. Postulados

      Primer postulado

      definida en el

      espacio de posiciones, que es de cuadrado sumable. Es decir, su norma al cuadrado Z

      2

      2

      (ψ) = dr , N |ψ(r)| es una cantidad positiva y finita. La interpretaci´on de Born de la mec´ anica cu´antica asocia a la cantidad

      2

      |ψ(r)|

      

    2

      (ψ) N la interpretaci´on de una densidad de probabilidad de la part´ıcula en la posici´on dada por r. Podr´ıamos restringir el espacio de funciones de manera que la norma

      N = 1, o

      α

      de forma que s´ olo contuviese funciones tipo C . Sin embargo desde el punto de vista del desarrollo del formalismo no suponen una gran simplificaci´on de modo que leventaremos estas restricciones.

      Si introducimos el producto escalar de dos funciones φ y ψ como Z

      ∗

      drφ (r)ψ(r), hφ|ψi = el espacio funcional anterior es un espacio de Hilbert

      F que satisface las siguientes propiedades:

      1. Todas las propiedades de un espacio lineal de dimensi´ on finita con producto escalar en ´el.

      2. Completitud y Separabilidad.

       Definimos un conjunto ortonormal y completo de funciones , φ , , , que no

      {φ

      1 2 · · · φ i · · ·

      pertenece necesariamente al espacio de Hilbert, y que verifica R

      ∗

      1. drφ (r)φ (r) = δ

      i j j ij 1 hφ |φ i = i 2 que el sistema consta de una sola part´ıcula Considero que se trata de un conjunto numerable para poder simplifcar el formalismo

    1. Pre´ ambulo te´ orico

      ∗ ′ ∗ ′ ′

      2. P φ (r)φ (r ) = P φ (r)φ (r ) = δ(r )

      i i i i − r

      Cualquier fdo puede escribirse entonces como Z Z

      X X

      X

      ′ ′ ′ ′ ∗ ′ ′

      ψ(r) = dr δ(r )ψ(r ) = φ (r) dr φ (r )ψ(r ) = (r) = c φ (r), − r i hφ i |ψi φ i i i

      i

      y su norma es Z

      2 X

      X X

      X

      2

      2

      (ψ) = dr c φ = c c

      i i i j i j i

      N hφ |φ i = |c |

      i j

      Estos resultados tienen un gran valor ya que nos indican que cualquier fdo de nuestro espacio F puede caracterizarse por un conjunto de valores (en este caso los coeficientes c ) diferentes a los valores de la fdo en los distintos puntos r del espacio. No es de extra˜ nar

      i

      que se piense en los elementos del espacio F m´as como vectores abstractos que como funciones. Por ello, en los sucesivo llamaremos a

      F espacio de estados y representar´e a sus elementos en numerosas ocasiones con la notaci´on de Dirac |ψi.

      Segundo postulado A toda magnitud f´ısica medible O le corresponde un cierto operador O que act´ ua sobre los estados del espacio

      F. El operador asociado O debe satisfacer dos propiedades esencialmente:

      1. Es autoadjunto

      2. Sus vectores propios constituyen un sistema ortonormal completo que permite de- sarrollar cualquier fdo. Un operador que satisface estas propiedades se dice que es un observable. Tercer postulado

      El resultado de cualquier operaci´ on de medida de la magnitud O es uno de los valores propios del operador O correspondiente. Cuarto postulado (principio de descomposici´ on espectral)

      Supongamos que el observable O tiene un espectro discreto y no degenerado. Si deno- tamos los autovalores y autovectores de O por O y

      i i

      |v i respectivamente tenemos O

      i i i

      |v i = O |v i ←− discreto O i j i

      6= O 6= j ←− no degenerado

      Introducci´ on a la f´ısica cu´ antica - 1.1.0

      1.1. Postulados

      Los autovectores

      i

      |v i constituyen una base ortonormal en la que podemos desarrollar cualquier estado

      

      X c

      i i

      |ψi = |v i

      

    i=1

      Entonces, la probabilidad de que una medida de la magnitud O d´e como resultado el autovalor O es

      i

      

    2

      2 i i

      |c | |hv |ψi| P (O i ) = = hψ|ψi hψ|ψi

      Si la norma hψ|ψi = 1 entonces la expresi´on toma la forma particular

      

    2

      2 P (O ) = =

    i i i

      |c | |hv |ψi| Un hecho de extraordinaria importancia es que toda medida sobre un sistema tiene car´acter destructivo y altera profundamente la estructura del estado que caracteriza al sistema. Se produce la llamada reducci´ on del paquete de ondas: independientemente de cu´al fuera el estado previo, a partir del momento inmediatamente posterior a una medida con resultado O el estado del sistema es

      i i

      |v i, el autovector correspondiente al autovalor medido. Ejemplo |ri caracteriza a una part´ıcula que se encuentra en la posici´on dada por el vector r, es decir son autoestados del operador posici´on r

      |ri = r |ri , y constituyen una base ortonormal generalizada, esto es

      ′ ′

      = δ(r ) hr|r i − r R dr

      1 |ri hr| =

      Si el sistema se encuentra en un estado normalizado |ψi, la amplitud de probabilidad de encontrar la part´ıcula en la posici´ on r, es decir la fdo ψ(r), vendr´ a dada por

      ψ(r) = hr|ψi , y podremos escribir

      Z Z dr drψ(r) |ψi = |ri hr|ψi = |ri . expresion en la que se observa que las componentes del vector de estado en la base

      |ri son precisamente los valores de la funci´ on de onda en los distintos puntos del espacio. Analogamente

      |pi representa el estado de una part´ıcula con momento bien definido, o formalmente

    1. Pre´ ambulo te´ orico

      p |pi = p |pi . Estos estados tambi´en constituyen una base ortonormal y por tanto tenemos que

      ′ ′

      = δ(p ) hp|p i − p R dp

      1 |pi hp| =

      La amplitud de probabilidad de encontrar la part´ıcula con momento p si el estado nor- malizado del sistema es |ψi viene dada por

      φ(p) = hp|ψi , es decir, la fdo en el espacio de momentos es la proyecci´on del estado del sistema sobre el bra hp|. Tambi´en podemos escribir

      Z Z dp dpφ(p) |ψi = |pi hp|ψi = |pi .

      Quinto postulado (evoluci´ on en el tiempo) La evoluci´on del estado del sistema esta gobernada por la ecuaci´on de Schr¨ odinger

      ∂ |ψ(t)i

      H |ψ(t)i = i~

      ∂t Consideremos, a modo de ejemplo, dos casos particulares en los que la evoluci´on temporal es muy distinta.

      1. Si el estado del sistema, |ψ(t)i, posee energ´ıa bien definida (es autoestado de H) entonces

      H |ψ(t)i = E |ψ(t)i y la soluci´ on a la ecuaci´ on de Schr¨ odinger viene trivialmente dada por

      E

      t −i

      ~ |ψ(t)i = e |φi donde

      |φi es independiente del tiempo y al igual que |ψ(t)i satisface H

      |φi = E |φi que es la denominada Ecuaci´ on de schr¨ odinger independiente del tiempo. Por tanto la evoluci´ on temporal de un estado de energ´ıa bien definida es trivial, ya que toma la forma de una fase.

      Introducci´ on a la f´ısica cu´ antica - 1.1.0

      1 c i

      1.1. Postulados 0.2 0.4 0.6

      0.8 5

    10

    15 20 t

    Figura 1.1.: Valor de los coeficientes en funci´on del tiempo

      2. Vamos a considerar ahora un caso distinto. Para simplificar, admitiremos que el espacio de estados tiene dimension 2 y que una base del mismo est´a formada por los estados independientes del tiempo

      1

      2

      |φ i , |φ i. Podr´ıa (solo podr´ıa) tratarse de los autoestados de un cierto H. Entonces el vector |ψ (t)i que define el estado del sistema siempre puede descomponerse como

      (t) (t)

      1

      1

      2

      2

      |ψ (t)i = c |φ i + c |φ i

      2

      2

    • donde (t) (t) = 1 si el estado est´a convenientemente normalizado. Su-

      1

      2

      |c | |c | pongamos que en el instante inicial t = 0

      1

      |ψ (0)i = |φ i; entonces para t = 0 se tiene c (0) = 1 y c (0) = 0. A medida que t crece los valores de los coeficientes

      1

      2

      evolucionaran (m´ as o menos) como se muestra en la figura La probabilidad de que al efectuar una medida en un instante posterior t se en- cuentre en el el estado 2 viene dada por

      2

      2 P (t) = (t) =

      

    2

      2 1→2 |c | |hφ |ψ(t)i|

      en donde simplemente hemos utilizado el postulado 4. Ya que el sistema se encontraba inicialmente en el estado 1, esta expresi´on tambi´en se conoce como probabilidad de transici´ on del estado 1 al 2 en el intervalo de tiempo t.

      Consideremos un n´ umero enorme N de sistemas que s´ olo poseen dos estados que denota- remos como 1 y 2, tales que E > E . Supongamos que realizamos un experimento en el

      1

      2

      que en el instante t = 0 de tiempo los N sistemas se hallan en el estado 1. A medida que el tiempo transcurre algunos sistemas transicionan al segundo estado. Llamemos n(t) al n´ umero de sistemas que se encuentran en 2 justo en el instante de tiempo t. Normal- mente los dispositivos experimentales que se dise˜ nan para medir n(t) lo que hacen es detectar y contar las part´ıculas que se emiten en las transiciones desde 1 a 2 (si E < E

      1

      2

      se absorber´ıan part´ıculas). Habitualmente por cada sistema que transiciona se emite una s´ ola part´ıcula. Por ejemplo si se trata de transiciones de tipo electromagn´etico dichas part´ıculas son fotones. Desde tiempos hist´ oricos se sabe que la funci´ on n(t) satisface n(t) = N λt,

    1. Pre´ ambulo te´ orico

      y por tanto n(t) dP (t)

      1→2

      P (t) = = λt = λ,

      1→2 −→

      N dt es decir, que la probabilidad de transici´ on por unidad de tiempo es una constante. Reglas de correspondencia

      Al actuar sobre la funci´ on de ondas en el espacio de posiciones asociamos a los vectores r , p, dados en coordenadas cartesianas, los siguientes operadores r

      = ⇒ r p

      = ⇒ p = −i~∇

      Es conveniente recordar ahora la definici´on exacta de momento lineal. Si L es el la- grangiano del sistema, el momento lineal de la part´ıcula viene dado por ∂L p =

      ∂v En sistemas sencillos donde el potencial no depende de las velocidades, momento li- neal p y cantidad de movimiento mv coinciden. Sin embargo pueden existir diferencias apreciables en sistemas m´ as complejos

      Ejemplo: Cuando la part´ıcula interacciona con un campo electromagn´etico externo caracterizado por sus potenciales escalar y vector, el momento lineal no coincide con mv, y viene dado por q p A

      = mv + c ya que el lagrangiano de este sistema es de la forma 1 q

      2

    • L = mv v

      · A − qφ 2 c donde φ y A son el potencial escalar y vector respectivamente. El hamiltoniano corres- pondiente a L es

      2

      1 (mv)

      

    2

    H = p mv + qφ = + qφ,

      · v − L = 2 2m q

      A y teniendo en cuenta que mv = p toma la forma − c

      2

      1 q H = p A + qφ

      − 2m c

      Queremos insistir finalmente en que es el momento lineal el que lleva asociado el operador −i~∇ y no la cantidad de movimiento, salvo que ambos coincidan. Por el con- q

      

      − c Aplicando las reglas de correspondencia tenemos 3

      q A

    Para el resto del curso conviene fijarse muy bien en el signo entre p y , porque a veces se producen

    c confusiones derivadas del hecho de que la carga del electr´ on es q = −e.

      Introducci´ on a la f´ısica cu´ antica - 1.1.0

    1.2. Teor´ıa de perturbaciones estacionarias

      2

      2

      1 q 1 q A

      H p A + qφ = (r, t) + qφ(r, t) → H = − −i~∇ −

      2m c 2m c

    1.2. Teor´ıa de perturbaciones estacionarias

      En esta secci´ on, as´ı como en la siguiente, vamos a introducir m´etodos para obtener de forma aproximada los estados propios y autoenerg´ıas de la ecuaci´ on de Schr¨ odinger independiente del tiempo. Este tipo de desarrollos son muy importantes porque, en general, no resulta posible resolver de forma exacta la ecuaci´ on de Schr¨ odinger.

      Supongamos que el hamiltoniano del sistema puede escribirse como H = H + λW donde H es el hamiltoniano no perturbado cuyas autoenerg´ıas y vectores propios son bien conocidos

      H

      

    n

      |ni = ε |ni Puesto que H es un observable sus vectores propios forman un conjunto ortonormal completo, esto es

      = δ nm hn|mi

      1 P |ni hn| = El segundo t´ermino del hamiltoniano es lo que llamamos la perturbaci´on (de H ). En un problema f´ısico concreto el par´ametro λ toma un valor determinado en ciertas unidades.

      Ahora, para desarrollar el m´etodo, admitiremos que es un par´ametro libre.

      El problema que queremos resolver es la ecS independiente del tiempo correspondiente a H, H n n n (1.1)

      |ψ i = E |ψ i Proponemos una soluci´on en forma de serie de potencias del par´ametro λ

      E E E

      (0) (1) (2)

      2 + λ + λ + . . . n n n n

      |ψ i = ψ ψ ψ (1.2)

      (0) (1) (2)

    2 E = E + λE + λ E + . . .

      n n n n

      La idea que subyace en este m´etodo es que, en aquellos problemas concretos donde λ toma un valor muy peque˜ no, podremos truncar el desarrollo y quedarnos s´ olo con sus primeros t´erminos. Desde un punto de vista m´ as amplio, aunque los primeros t´erminos del desarrollo nos proporcionen valores razanables, no est´ a garantizado que las series anteriores converjan.

      Introduciendo las soluciones

       en nuestra ecuaci´ on de partida tenemos

      h E E E i h i h E i

      (0) (1)

    2 (2) (0) (1)

    2 (2) (0)

      (H + λW) + λ + λ + . . . = E + λE + λ E + . . . + . . . , ψ n ψ n ψ n n n n ψ n

    1. Pre´ ambulo te´ orico

      e identificando en esta igualdad los t´erminos de igual orden en λ obtenemos E E E E

      (0) (k) (1) (2) (3) (k−1) (k−2) (k−3)

      H = E + E + E + . . .

      − E n ψ n n − W ψ n n ψ n n ψ n As´ı, para los valores de k mas peque˜ nos resultan las siguientes igualdades k = 0

      E

      (0) (0)

      H = 0 (1.3) − E n ψ n k = 1

      E E

      (0) (1) (1) (0)

      H = E (1.4) − E n ψ n n − W ψ n k = 2

      E E E

      (0) (2) (1) (1) (2) (0)

      H = E + E (1.5) − E n ψ n n − W ψ n n ψ n

      Vamos a introducir ahora el convenio de la normalizaci´ on intermedia que se utiliza bastante en teor´ıa de perturbaciones y consiste en imponer D E

      (0) (0)

      ψ n n = 1 |ψ

      D E

      (0)

      ψ = 1

      n n

      |ψ A partir del desarrollo previo (v´ease

      

    tendremos

      D E D E D E D E

      (0) (0) (0) (0) m(1) 2 (0) (2)

      ψ = 1 = ψ + λ ψ + λ ψ + . . . = 1,

      n n |ψ ⇒ n |ψ n n |ψ n n |ψ n

      D E

      (0) (0)

      y como ψ = 1, entonces

      n n

      |ψ D E D E

      (0) m(1) 2 (0) (2)

      λ ψ + λ ψ + . . . = 0

      n |ψ n n |ψ n

      con λ libre lo que nos deja el siguiente conjunto de igualdades D E

      (0) (k)

      ψ = 0 k

      n |ψ n ≥ 1 (k)

      ´ Estas nos indican que las sucesivas correcciones ψ , k

      ≥ 1, que vamos a˜nadiendo a la

      (0) fdo de orden cero ψ , son ortogonales (independientes) a la misma.

    1.2.1. Teor´ıa de perturbaciones: caso no degenerado

      En este caso tenemos que ε n m n

      6= ε 6= m y por lo tanto a cada autovalor le corresponde un ´ unico autovector.

      Introducci´ on a la f´ısica cu´ antica - 1.1.0

    1.2. Teor´ıa de perturbaciones estacionarias

      (0) (0)

      Volviendo a

       concluimos que E n es autovalor de H y que ψ n es el autoestado

      correspondiente. Por lo tanto

      (0)

      E = ε

      n n

      E

      (0)

      =

      n |ni

      ψ E

      (0)

      Si el espectro fuese degenerado ser´ıa en general una combinaci´ on lineal de todos

      n

      ψ los autoestados |ni asociados al mismo autovalor.

      Dado que los autoestados de H forman una base del espacio de estados siempre E

      (1)

      podemos expresar como

      n

      ψ E

      X

      (1)

      = a

      m

    n |mi ,

      ψ

      

    m

      y usando la normalizaci´on intermedia D E D E

      (1) (0) (1)

      n = ψ = 0 = = 0

      n

      |ψ n n |ψ n ⇒ a con lo que E

      X

      (1)

      = a

      m

      ψ n |mi

      

    m6=n

      Vamos ahora a proyectar

       sobre un bra

      hk| lo que da D E D E P

      (0) (1) (1)

      k H a = k = E δ

      n m n kn

      − E m E − W n n − hk |W| ni ,

      m6=n

      y en consecuencia

      (1)

      (ε ) a = E δ

      k n k kn

      − ε n − hk |W| ni ∀k, n Es conveniente distinguir los dos casos siguientes k = n

      

    (1) (1)

      0 = E n n = − hn |W| ni =⇒ E hn |W| ni k

      6= n (ε k n ) a k =

      − ε − hk |W| ni =⇒ hk |W| ni hk |W| ni = = = =

      k

      ⇒ a − ⇒ ε ε

      k n n k

      − ε − ε E

      X X

      (1) hk |W| ni

      = = a ⇒ n k |ki = |ki

      ψ ε

      n k

      − ε

      k6=n k6=n

    1. Pre´ ambulo te´ orico

      Por lo tanto el caso k = n nos proporciona la correcci´ on de orden 1 (en λ) a la energ´ıa y el segundo caso nos da la expresi´ on de la fdo hasta primer orden X hk |W| ni

      n

      |ψ i = |ni + λ |ki + · · · ε

      n k

      − ε

      k6=n

      Nuestro siguiente paso consistir´ a en obtener la correcci´ on de orden 2 a la energ´ıa del estado. Para ello consideramos la ecuaci´ on

       y la proyectamos sobre

      hn| D E D E D E D E

      (0) (2) (1) (1) (1) (2) (0)

      n = E n n + E n , H − E n ψ n n |ψ n − |W| ψ n |ψ n y como

      D E D E

      (0) (2) (0) (2)

      n = ε n = 0

      n n n n n

      H − E ψ − E |ψ D E

      (1) (1)

      E n n n = |ψ podemos despejar trivialmente

      D E

      (2) (1)

      E = n =

      n |W| ψ n

      2 X

      X hn |W| ki hk |W| ni |hk |W| ni| = =

      ε ε

      n k n k

      − ε − ε

      k6=n k6=n

      En resumen, las expresiones aproximadas que hemos obtenido para la energ´ıa y la fdo son

      2 X

      |hk |λW| ni| + E = ε + . . .

      n n

      hn |λW| ni + ε

      n k

      − ε

      k6=n

      X hk |λW | ni

      n |ψ i = |ni + |ki + . . .

      ε

      

    n k

      − ε

      k6=n

      Si las correcciones que vamos obteniendo son peque˜ nas puede tener sentido retener s´ olo los primeros t´erminos. Para ello ser´ a necesario que

      n

      |hn |λW| ni| ≪ ε

      n

      |hk |λW| ni| ≪ |ε − ε k |

    1.2.2. Teor´ıa de perturbaciones: caso degenerado

      Tal y como puede observarse, las ecuaciones anteriores no son v´ alidas cuando ε n = ε m , n el desarrollo puede tener problemas de convergencia.

      n m

      6= m. Incluso cuando ε ≃ ε Sin embargo, el sistema de ecuaciones

       sigue siendo v´ alido y, en particular, (0) la propia asignaci´ on E n = ε n .

      Introducci´ on a la f´ısica cu´ antica - 1.1.0

    1.2. Teor´ıa de perturbaciones estacionarias

      Lo que ya no es necesariamente v´ alido es la identificaci´ on de los autoestados debi- do a que ahora n no identifica un solo autovector sino un conjunto de ellos. Por eso cambiaremos la notaci´ on como sigue

      H

      n

      |n, ri = ε |n.ri r = 1, 2, . . . d donde el nuevo ´ındice r diferencia entre estados con la misma energ´ıa . Las soluciones perturbativas expresadas como un desarrollo en serie son ahora

      E E E

      (0) (1) (2)

      2 + λ + λ + . . . n,r n,r n,r n,r

      |ψ i = ψ ψ ψ

      (1.6)

      (0) (1) (2)

      2

    • E = E + λE + λ E

      n,r n,r n,r n,r

      · · · ya que cada nivel n puede desdoblarse en d estados al introducir la perturbaci´ on. La forma m´ as general de los d autoestados de orden cero correspondientes al nivel n es

      d

      E

      X

      (0)

      = α n.s r = 1, 2, . . . , d

      rs n,r

      ψ s =1 Los coeficientes α no pueden ser cualesquiera sino que vienen fijados por la perturba-

      rs

      ci´on. En efecto, proyectando

       sobre los estados

      hn, s| , s = 1, 2, . . . , d D E D E

      (0) (1) (1) (0)

      n, s = n, s E H − E n ψ n,r | n,r − W |ψ n,r

      D E

      X

      

    (1)

      0 = n, s α

      n,r − W rs E n, s s

      que queda finalmente reducido a

      d

      X

      (1) ′

      n, s α rs = E α rs, r, s |W | n, s n,r ∈ {1, ..., d}

      s =1

      d 

       z }| {    

      α α

      r1 r1

      hn, 1 |W | n, 1i hn, 1 |W | n, 2i 

       

           α r2 α

      2

      hn, 2 |W | n, 1i hn, 2 |W | n, 2i (1) 

           = E

      n,r

           

       

      α α hn, d |W | n, di rd rd Esta ecuaci´ on de autovalores nos proporciona las d energ´ıas en que se separa el nivel n y los d conjuntos de coeficientes , s = 1...d

      rs

      {α } que definen los correspondientes autovectores. Como casi todos los sistemas f´ısicos tienen niveles degenerados podr´ıa parecer que siempre hay que utilizar teor´ıa de perturbaciones degenerada y resolver la ecuaci´ on an- terior. En ocasiones la matriz hn, r |W | n, si es diagonal en los estados |n, ri y entonces podemos recuperar la expresi´ on del caso no degenerado a orden 1. Si rs hnr |W | nsi ∝ δ

    1. Pre´ ambulo te´ orico

       

          hn, 1 |W | n, 1i α α

      r1 r1

        hn, 2 |W | n, 2i    

      α α

      r2 (1)

      2

       

          = E

      n

       

       α α

          . .. 

      rd rd

      hn, d |W | n, di y nos queda

      (1)

      E = r = 1 . . . d hn, r |W| n.ri

      nr

      E

      

    (0)

      = ψ n,r |n, ri

      En los casos de aplicaci´ on de la teor´ıa de perturbaciones en este curso se dar´ a habitual- mente esta situaci´on por lo que utilizaremos teor´ıa de perturbaciones no degenerada. Ejemplo: perturbaci´on cuadr´atica en x del oscilador arm´ onico

      

    Consideremos una part´ıcula de masa m que realiza un movimiento unidimensional sometida al

    hamiltoniano

      2 p

      1

      1

      1

      2

      2

      2

      2

      2

      2

    • H = mω + x λmω x = H λmω x 2m

      2

      2

      2

    que es la suma de un oscilador m´as un t´ermino cuadr´ atico en x. El objetivo de este ejemplo

    es calcular las autoenerg´ıas de este hamiltoniano de dos formas diferentes. Recordemos que los

    autovalores de H son

      1 E = ~ω n + n

      2 Primero procederemos al c´ alculo de los nuevos autovalores de forma exacta. Para ello 1. observamos que

      2

      2 1 p 1 p

      1

      2

      2

      2

      2

      2 ′2

    • H = H λmω x = + mω + (1 + λ) x = mω x 2 2m

      2 2m

      2 √ ′ donde ω = ω 1 + λ. Por lo tanto podemos escribir que

      2

      1 1 λ λ ′ E = ~ω n + = ~ω n + 1 + + ... n

      −

      2

      2

      2

      8

      2. Como estrategia alternativa procederemos utilizando teor´ıa de perturbaciones. Introduci-

    • mos los operadores de aniquilaci´on A y de destrucci´on A definidos como sigue

      1 −

      A = (2m~ω) 2 (mωx + ip)

      1 −

    • A = (2m~ω) 2 (mωx − ip)

      que poseen conmutador [A, A ] = 1. Se introduce tambi´en el operador n´ umero N = A A cuyos autovalores son simplemente los n´ umeros naturales N |ni = n |ni , n = 0, 1, 2, ...

      Introducci´ on a la f´ısica cu´ antica - 1.1.0

    1.2. Teor´ıa de perturbaciones estacionarias

      

    El hamiltoniano no perturbado se expresa en funci´on de este nuevo operador como

      1 H = ~ω N +

      2 de manera que

      

    1

      1 H N + n + |ni = ~ω |ni = ~ω |ni

      

    2

      2 Algunas propiedades de los autoestados de N son ′ ortogonalidad ′

      a) nn

      hn|n i = δ √

      b) aniquilaci´ on A n

      |ni = |n − 1i √

    • c) creaci´ on A n + 1

      |ni = |n + 1i (0)

      φ = H (x) =

      d ) n n

      hx|ni Expresando W en t´erminos de los operadores de creaci´ on y aniquilaci´ on resulta

      1

      1

      2

      1

      2

      2 2 +

    ~ ~

    W = mω x = ω A + A = ω A + A + 2N + 1

    • +

      2

      2

      4

    4 Las energ´ıas aproximadas (hasta segundo orden en λ ) se escriben

      2 ′ X |hn |W| ni|

      2 E = E + λ n n hn |W| ni + λ

      E n − E n n6=n

      Los ´ unicos elementos de matriz no nulos de la perturbaci´ on son

      1

      1 ~ ~ = ω = ω(2n + 1) hn |W| ni hn |2N + 1| ni

      4

      4

      1

      1 2 1/2

      ~ ~ ω n A n + 2 = ω[(n + 1)(n + 2)] hn |W| n + 2i =

      4

      4 D E

      1

      1

      

    2

    1/2 + ~ ~ ω n ) = ω[n(n

    hn |W| n − 2i = (A n − 2 − 1)]

      4

      4 Verifiquemos expl´ıcitamente el primero de ellos p √

      2 n A n = n n (n hn |AA| ni = hn |A| n − 1i = − 1) hn|n − 2i = 0

      D E

      2

    • n = A n hn |2N + 1| ni = (2n + 1) hn|ni = 2n + 1 Substituyendo en la expresi´on superior llegamos a

      2 ~ ω (~ω) (n + 1)(n + 2) n(n

      2 − 1) E = E + λ + (2n + 1) + λ n n

      4

    16 E E

      n − E n+2 n − E n−2 y teniendo en cuenta que E = n − E ∓2~ω, obtenemos nuevamente n±2

      2 1 λ λ

    E n = ~ω n + 1 + + . . .

      −

      2

      2

      8 Ejemplo: Teor´ıa de perturbaciones (no degenerada) en un sistema de dos niveles

    1. Pre´ ambulo te´ orico

      Admitamos que el hamiltoniano del sistema, H, tiene la siguiente forma:

    H = H + λW

    donde H es tal que conocemos sus autoenerg´ıas y autoestados E E

      (0) (0) (0) H = E

    φ i i φ i

      

    Para reducir el formalismo a un m´ınimo admitiremos que el espacio de estados tiene dimensi´on

    n Eo (0)

      

    2 y por tanto el ´ındice anterior toma valores i = 1, 2 . Como es una base de

    φ i i=1,2 autofunciones ortonormales, se verifican las siguientes relaciones D E D E

      (0) (0) (0) (0)

    φ = φ =

      1 1 |φ

      1 2 |φ

      2 D E (0) (0) φ =

      1 |φ

      2 El objetivo que perseguimos es resolver la ecS correspondiente al hamiltoniano completo H

    |φi = E |φi

    cuando λ ≪ 1 (perturbaci´on peque˜na ). Cualesquiera que sean los autoestados exactos |φi, podemos desarrollarlos como E E

      (0) (0) ketφ = α

    1 + α

      2 φ φ

      

    1

      2 Sustituyendo esta expresi´ on en la ecS tenemos E E

      (0) (0) H + β

      1 φ 2 φ |φi = β

      

    1

      2 = E |φi

      E E (0) (0)

      = Eα 1 + Eα

      2 φ φ

      

    1

      2 D D (0) (0) Podemos poner los coeficientes β en funci´ on de los α. Proyectando sobre φ φ

      1 y por 2 para aprovechar las relaciones de ortogonalidad se obtiene, respectivamente D E

      (0)

    φ = β

      1 1 |H| φ D E

      (0)

    φ = β

      2 2 |H| φ Luego D E

      (0) β = φ

      1 1 |H| φ D E E E

      (0) (0) (0) = φ α + α

      1

      2 1 |H| φ 1 φ

      2 D E D E (0) (0) (0) (0) = α φ + α φ

      1

      2 1 |H| φ

    1

    1 |H| φ

      2 D E D E (0) (0) (0) (0) β = α φ + α φ

      2

      1

      2 2 |H| φ

    1

    2 |H| φ

      2 D E (0) (0) Si al elemento de matriz φ lo llamamos H tenemos una matriz 2 ij i |H| φ j × 2 que cumple

      

    D E D E

    (0) (0) (0) (0)

      

    H = φ = φ H φ = H

      21 2 |H| φ

      1

      1

      2

      12 Introducci´ on a la f´ısica cu´ antica - 1.1.0

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