SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

  SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  1

DE LA UNIDAD

  PÁGINA 35 EJERCICIOS DE LA UNIDAD Suma y resta de enteros

1 Calcula:

  a) 5 – 3 – 7 + 1 + 8

  b) 2 – 3 + 4 + 1 – 8 + 2

  c) 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11

  d) 2 + 4 – 6 – 8 + 10 – 12 + 14

  a) 5 – 3 – 7 + 1 + 8 = (5 + 1 + 8) – (3 + 7) = 14 – 10 = 4

  b) 2 – 3 + 4 + 1 – 8 + 2 = (2 + 4 + 1 + 2) – (3 + 8) = 9 – 11 = –2

  c) 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 = (1 + 5 + 9) – (3 + 7 + 11) = 15 – 21 = –6

  d) 2 + 4 – 6 – 8 + 10 – 12 + 14 = (2 + 4 + 10 + 14) – (6 + 8 + 12) = 30 – 26 = 4

  2 Quita paréntesis:

  a) a + (b + c)

  b) a – (b + c)

  c) a + (b c)

  d) a – (b c)

  a) a + (b + c) = a + b + c

  b) a – (b + c) = a b c

  c) a + (b c) = a + b c

  d) a – (b c) = a b + c

  3 Quita paréntesis y después opera:

  a) 1 – (7 – 2 – 10) – (3 – 8)

  b) (8 – 4 – 3) – (5 – 8 – 1)

  c) (3 – 5) – (1 – 4) + (5 – 8)

  d) 3 – (5 – 8) – (11 – 4) + (13 – 9)

  a) 1 – (7 – 2 – 10) – (3 – 8) = 1 – 7 + 2 + 10 – 3 + 8 = (1 + 2 + 10 + 8) – (3 + 7) = = 21 – 10 = 11 b) (8 – 4 – 3) – (5 – 8 – 1) = 8 – 4 – 3 – 5 + 8 + 1 = (8 + 8 + 1) – (4 + 3 + 5) = = 17 – 12 = 5 c) (3 – 5) – (1 – 4) + (5 – 8) = 3 – 5 – 1 + 4 + 5 – 8 = (3 + 4 + 5) – (5 + 1 + 8) = = 12 – 14 = –2 d) 3 – (5 – 8) – (11 – 4) + (13 – 9) = 3 – 5 + 8 – 11 + 4 + 13 – 9 = = (3 + 8 + 4 + 13) – (5 + 11 + 9) = 28 – 25 = 3

  SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  1

DE LA UNIDAD

4 Calcula operando primero dentro de los paréntesis:

  a) (2 – 6 – 3) + (5 – 3 – 1) – (2 – 4 – 6)

  b) (8 – 11 – 5) – (12 – 13) + (11 + 4)

c) 15 + (6 – 18 + 11) – (7 + 15 – 19) + (1 – 3 – 6)

  a) (2 – 6 – 3) + (5 – 3 – 1) – (2 – 4 – 6) = (–7) + (1) – (– 8) = –7 + 1 + 8 = 2

  b) (8 – 11 – 5) – (12 – 13) + (11 + 4) = (– 8) – (–1) + (15) = –8 + 1 + 15 = 8

  c) 15 + (6 – 18 + 11) – (7 + 15 – 19) + (1 – 3 – 6) = 15 + (–1) – (3) + (– 8) = = 15 – 1 – 3 – 8 = 3

5 Quita paréntesis y calcula:

  a) 3 – [(5 – 8) – (3 – 6)]

  b) 1 – (3 – [4 – (1 – 3)])

  c) (2 + 7) – (5 – [6 – (10 – 4)])

  a) 3 – [(5 – 8) – (3 – 6)] = 3 – [(–3) – (–3)] = 3 – [–3 + 3] = 3

  b) 1 – (3 – [4 – (1 – 3)]) = 1 – (3 – [4 – (–2)]) = 1 – (3 – 6) = 1 + 3 = 4

  c) (2 + 7) – (5 – [6 – (10 – 4)]) = 9 – (5 – [6 – 6]) = 9 – 5 = 4

  6 Calcula:

  a) (–7) · (+11)

  b) (–6) · (–8)

  b) (+5) · (+7) · (–1)

  

d) (–2) · (–3) · (–4)

  a) (–7) · (+11) = –77

  

b) (–6) · (–8) = 48

  c) (+5) · (+7) · (–1) = –35

  d) (–2) · (–3) · (–4) = –24

  7 Opera:

  a) (–45) : (+3)

  

b) (+85) : (+17)

  b) (+36) : (–12)

  d) (–85) : (–5)

  a) (–45) : (+3) = –15

  

b) (+85) : (+17) = 5

  c) (+36) : (–12) = –3

  

d) (–85) : (–5) = 17

  8 Opera las expresiones siguientes:

  a) (+400) : (–40) : (–5)

  b) (+400) : [(–40) : (–5)]

  c) (+7) · (–20) : (+10)

  d) (+7) · [(–20) : (+10)]

  e) (+300) : (+30) · (–2)

  f) (+300) : [(+30) · (–2)] SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  1

DE LA UNIDAD

  a) (+400) : (–40) : (–5) = (–10) : (–5) = 2

  b) (+400) : [(–40) : (–5)] = (+400) : (+8) = 50

  c) (+7) · (–20) : (+10) = –140 : 10 = –14

  d) (+7) · [(–20) : (+10)] = 7 · (–2) = –14

  e) (+300) : (+30) · (–2) = 10 · (–2) = –20 f ) (+300) : [(+30) · (–2)] = 300 : (–60) = –5 Operaciones combinadas

9 Calcula:

  a) 6 · 4 – 5 · 6 – 2 · 3

  b) 15 – 6 · 3 + 2 · 5 – 4 · 3

  c) 5 · (–4) + (–2) · 4 – 6 · (–5) – 3 · (–6)

  d) 18 – 3 · 5 + 5 · (–4) – 3 · (–2)

  a) 6 · 4 – 5 · 6 – 2 · 3 = 24 – 30 – 6 = –12

  b) 15 – 6 · 3 + 2 · 5 – 4 · 3 = 15 – 18 + 10 – 12 = –5

  c) 5 · (–4) + (–2) · 4 – 6 · (–5) – 3 · (–6) = –20 – 8 + 30 + 18 = 20

  d) 18 – 3 · 5 + 5 · (–4) – 3 · (–2) = 18 – 15 – 20 + 6 = –11

  10 Opera estas expresiones:

  a) (–5) · (8 – 13)

  b) (2 + 3 – 6) · (–2)

  c) (+4) · (1 – 9 + 2) : (–3)

  d) (–12 – 10) : (–2 – 6 – 3)

  a) (–5) · (8 – 13) = (–5) · (–5) = 25

  b) (2 + 3 – 6) · (–2) = (–1) · (–2) = 2

  c) (+4) · (1 – 9 + 2) : (–3) = 4 · (–6) : (–3) = (–24) : (–3) = 8

  d) (–12 – 10) : (–2 – 6 – 3) = (–22) : (–11) = 2

  11 Calcula:

  a) 13 – [8 – (6 – 3) – 4 · 3] : (–7)

  b) 5 · (8 – 3) – 4 · (2 – 7) – 5 · (1 – 6)

  c) 12 · (12 – 14) – 8 · (16 – 11) – 4 · (5 – 17)

  SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  1

DE LA UNIDAD

  a) 13 – [8 – (6 – 3) – 4 · 3] : (–7) = 13 – [8 – 3 – 12] : (–7) = 13 – (–7) : (–7) = = 13 – 1 = 12 b) 5 · (8 – 3) – 4 · (2 – 7) – 5 · (1 – 6) = 5 · 5 – 4 · (–5) – 5 · (–5) = = 25 + 20 + 25 = 70 c) 12 · (12 – 14) – 8 · (16 – 11) – 4 · (5 – 17) = 12 · (–2) – 8 · 5 – 4 · (–12) = = –24 – 40 + 48 = –16

12 Realiza las operaciones siguientes:

  a) 18 – 40 : (5 + 4 – 1) – 36 : 12

  b) 4 + 36 : 9 – 50 : [12 + (17 – 4)]

  c) 48 : [5 · 3 – 2 · (6 – 10) – 17]

  d) 3 · 4 – 15 : [12 + 4 · (2 – 7) + 5]

  a) 18 – 40 : (5 + 4 – 1) – 36 : 12 = 18 – 40 : 8 – 3 = 18 – 5 – 3 = 10

  b) 4 + 36 : 9 – 50 : [12 + (17 – 4)] = 4 + 4 – 50 : 25 = 8 – 2 = 6

  c) 48 : [5 · 3 – 2 · (6 – 10) – 17] = 48 : [15 + 8 – 17] = 48 : 6 = 8

  d) 3 · 4 – 15 : [12 + 4 · (2 – 7) + 5] = 12 – 15 : [12 + 4 · (–5) + 5] = = 12 – 15 : [12 – 20 + 5] = 12 – 15 : (–3) = 12 + 5 = 17

  13 Calcula:

  7

  5

  3

  a) (–2)

  b) (–3)

  c) (–5)

  3

  16

  17

  d) (–10)

  e) (–1)

  f) (–1)

  7

  5

  3

  a) (–2) = –128

  b) (–3) = –243

  c) (–5) = –125

  3

  16

  17

  d) (–10) = –1 000

  e) (–1) = +1

  f) (–1) = –1

  14 Expresa como una única potencia:

  4

  3

  3

  3

  a) (–2) · (–2)

  b) (+2) · (–2)

  5

  3

  6

  3

  c) (–3) : (–3)

  d) (–5) : (–5)

  4

  3

  7

  3

  3

  3

  3

  3

  3

  6

  a) (–2) · (–2) = (–2)

  b) (+2) · (–2) = (+2) · (–2) = –(2 · 2 ) = –2

  5

  3

  2

  6

  3

  3

  c) (–3) : (–3) = (–3)

  d) (–5) : (–5) = (–5)

  15 Calcula:

  3

  3

  3

  a) (–2) + (–3) – (–4)

  2

  2

  2

  b) (–5) · (–2) + (+3) · (–3)

  2

  2

  2

  c) (–2) · [(–5) – (+4) ]

  3

  3

  2

  2

  d) (–6) : (–3) + (–8) : (–4)

  SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  1

DE LA UNIDAD

  3

  3

  3

  a) (–2) + (–3) – (–4) = (–8) + (–27) – (–64) = –8 – 27 + 64 = 64 – 35 = 29

  2

  2

  2

  2

  3

  2

  3

  b) (–5) · (–2) + (+3) · (–3) = [(–5) · (–2)] – 3 = 10 – 3 = 100 – 27 = 73

  2

  2

  2

  c) (–2) · [(–5) – (+4) ] = 4 · (25 – 16) = 4 · 9 = 36

  3

  3

  2

  2

  3

  2

  3

  2

  d) (–6) : (–3) + (–8) : (–4) = [(–6) : (–3)] + [(–8) : (–4)] = 2 + 2 = = 8 + 4 = 12

  16 Calcula, si existe:

  2

  3

  3

  a) (–6)

  b) (–6)

  c) (–5) 兹 苶 兹 苶 兹 苶

  4

  7

  8

  d) (–5)

  e) (–1)

  f) (–1) 兹 苶 兹 苶 兹 苶

  2

  3

  a) (–6) = 36 = ±6

  

b) (–6) = –216 No existe

  兹 苶 兹 苶 兹 苶 兹 苶

  3

  c) (–5) = –125 No existe →

  兹 苶 兹 苶

  4

  d) (–5) = 625 = ±25 兹 苶 兹 苶

  7

  e) (–1) = –1 No existe 兹 苶 兹 苶 →

  8

  f) (–1) = 1 = ±1 兹 苶 兹 苶

  17 Calcula, si existe:

  2

  4

  7

  

3

  a) (+2) · (–2)

  b) (–2) : (–2) 兹 苶 苶 兹 苶 苶

  3

  5

  3

  3

c) 8 : (–2 )

  d) (–6) :

  3 兹 苶 苶 兹 苶 苶

  2

  4

  6

  a) (+2) · (–2) = 2 = 64 = ±8 兹 苶 苶 兹 苶 兹 苶

  7

  3

  4

  b) (–2) : (–2) = (–2) = 16 = ±4 兹 苶 苶 兹 苶 兹 苶

  3

  5

  9

  5

  4

  c) 8 : (–2 ) = 2 : (–2 ) = –2 = –16 No existe →

  兹 苶 苶 兹 苶 苶 兹 苶 兹 苶

  3

  3

  3

  3

  d) (–6) : 3 = (–6 : 3 ) = (–2) = –8 No existe →

  兹 苶 苶 兹 苶 苶 兹 苶 兹 苶 PÁGINA 36 Múltiplos y divisores

18 Verdadero o falso: a) 195 es múltiplo de 13.

  b) 13 es divisor de 195.

  c) 745 es múltiplo de 15.

  d) 18 es divisor de 258.

  e) 123 es divisor de 861.

  SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  1

DE LA UNIDAD

  a) Verdadero. 195 = 13 · 15

  b) Verdadero. 195 : 13 = 15 c) Falso.

  d) Falso.

  e) Verdadero. 861 : 123 = 7.

  19 Escribe los cinco primeros múltiplos de 15 por encima de 1000.

  1 005, 1 020, 1 035, 1 050, 1 065

  20 Escribe todos los divisores de 140.

  1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140

  21 Verdadero o falso: a) La suma de dos múltiplos de 8 es múltiplo de 8.

  b) La diferencia de dos múltiplos de 6 es un múltiplo de 6.

  c) Si un número es múltiplo de 4 y de 3, también es múltiplo de 12.

  d) Si un número es múltiplo de 2 y de 4, también es múltiplo de 8.

  e) Si un número es múltiplo de 12, también es múltiplo de todos los diviso- res de 12.

  a) Verdadero. a · 8 + b · 8 = (a + b) · 8 b) Verdadero. a · 6 – b · 6 = (a b) · 6 c) Verdadero. a · 4 · 3 = a · 12 d) Falso. Por ejemplo, 20 = 10 · 2 = 5 · 4 y, sin embargo, no es múltiplo de 8.

  e) Verdadero. a · 12 = a · 2 · 6 = a · 3 · 4…

  Números primos y compuestos

22 Escribe todos los números primos comprendidos entre 80 y 100.

  83, 89, 91, 97

  SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  1

DE LA UNIDAD

  23 sea: Calcula cuánto debe valer a para que el número 7 1 a

  a) Múltiplo de 2

  b) Múltiplo de 3

  c) Múltiplo de 5

  a) a = 0, 2, 4, 6, 8

  b) a = 1, 4, 7

  c) a = 0, 5

24 Descompón en factores primos:

  a) 48

  b) 54

  c) 90

  d) 105

  e) 120 f ) 135

  g) 180

  h) 378 i) 700 j) 1 872

  4

  3

  a) 48 = 2 · 3

  b) 54 = 2 · 3

  2

  c) 90 = 2 · 3 · 5

  d) 105 = 3 · 5 · 7

  3

  3

  e) 120 = 2 · 3 · 5 f ) 135 = 3 · 5

  2

  2

  3

  g) 180 = 2 · 3 · 5

  h) 378 = 2 · 3 · 7

  2

  2

  4

  

2

i) 700 = 2 · 5 · 7 j) 1 872 = 2 · 3 · 13 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

25 Calcula:

  a) m.c.m. (12, 15)

  b) m.c.m. (24, 60)

  c) m.c.m. (48, 54)

  d) m.c.m. (90, 150)

  e) m.c.m. (6, 10, 15) f ) m.c.m. (8, 12, 18)

  2 

  a) 12 = 2 · 3

  2  m.c.m. (12, 15) = 2 · 3 · 5 = 60

  15 = 3 · 5

  

  3 

  b) 24 = 2 · 3

  3

  m.c.m. (24, 60) = 2 · 3 · 5 = 120

  

  2

  60 = 2 · 3 · 5

  

  4 

  c) 48 = 2 · 3

  4

  3  m.c.m. (48, 54) = 2 · 3 = 432

  3

  54 = 2 · 3

  

DE LA UNIDAD

  8 = 2

  3

  135 = 3

  4   

  · 3 16 = 2

  2

  12 = 2

  3

      

  2

  · 3 · 5 105 = 3 · 5 · 7

  2

  · 5 60 = 2

  2

  45 = 3

      

  = 4 f ) M.C.D. (45, 60, 105) = 3 · 5 = 15

  · 5 180 = 2

  · 3

  e) M.C.D. (8, 12, 16) = 2

  3

  · 3

  3

  24 = 2

  4

  16 = 2

  2   

  · 3

  · 3 72 = 2

  2

  4

  48 = 2

    

  · 3 · 5

  3

  105 = 3 · 5 · 7 120 = 2

    

  · 5

  2

  26 Calcula:

  27 Si a es múltiplo de b, ¿cuál es el mínimo común múltiplo de a y b? ¿Cuál es el máximo común divisor de a y b? Si a es múltiplo de b, a = k · b m.c.m. (a, b) = m.c.m. (k · b, b) = k · b = a M.C.D. (a, b) = M.C.D. (k · b, b) = b

  · 3

  2

  12 = 2

  3

  8 = 2

      

  = 72

  2

  3

  2     

  e) m.c.m. (6, 10, 15) = 2 · 3 · 5 = 30 f ) m.c.m. (8, 12, 18) = 2

  = 450

  2

  · 5

  

2

  d) m.c.m. (90, 150) = 2 · 3

  1

  SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  · 3 18 = 2 · 3

  6 = 2 · 3 10 = 2 · 5 15 = 3 · 5

  

2

  a) M.C.D. (16, 24) = 2

  d) M.C.D. (135, 180) = 3

  c) M.C.D. (105, 120) = 3 · 5 = 15

  = 24

  3

  b) M.C.D. (48, 72) = 3 · 2

  = 8

  3

  e) M.C.D. (8, 12, 16) f ) M.C.D. (45, 60, 105)

    

  d) M.C.D. (135, 180)

  c) M.C.D. (105, 120)

  b) M.C.D. (48, 72)

  a) M.C.D. (16, 24)

  2

  · 5 150 = 2 · 3 · 5

  2

  90 = 2 · 3

  · 5 = 45 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  1

DE LA UNIDAD

  Para aplicar lo aprendido

  28 Se dice que dos números son primos entre sí cuando no tienen ningún divisor común aparte del 1. Por ejemplo, el 15 y el 16. Busca otras parejas de números primos entre sí.

  Por ejemplo: 17 y 24 13 y 9

  29 Se desea envasar 100 litros de aceite en recipientes iguales. ¿Cuál ha de ser la capacidad de los mismos? Busca todas las soluciones posibles, e indica, en cada caso, el número de recipientes necesarios.

  Las soluciones posibles son todos los divisores de 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

  30 En la biblioteca de mi centro hay entre 150 y 200 libros. Averigua cuántos son exactamente si pueden agruparse en cajas de 5, de 9, de 15 y de 18 unidades.

  

  5 = 5

  

  2

  9 = 3 

  2  m.c.m. (5, 9, 15, 18) = 2 · 3 · 5 = 90

  15 = 3 · 5 

  

  2

  18 = 2 · 3

   El número de libros ha de ser múltiplo de 5, de 9, de 15 y de 18, y el menor de ellos es 90.

  Los siguientes múltiplos de 90 son 180, 270… Por tanto hay 180 libros.

  31 Las líneas de autobuses A y B inician su actividad a las siete de la ma- ñana desde el mismo punto de partida.

  Si la línea A tiene un servicio cada 24 minutos y la línea B lo hace cada 36 minutos, ¿a qué hora, después de las siete, vuelven a coincidir las salidas?

  3 

  24 = 2 · 3

  3

  2  m.c.m. (24, 36) = 2 · 3 = 72

  2

  2

  36 = 2 · 3

   Los autobuses coinciden cada 72 minutos.

  Volverán a coincidir a las 8 horas y 12 minutos de la mañana.

  32 Deseamos partir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales lo más grandes que sea posible y sin desperdiciar ningún cabo.

  ¿Cuánto medirá cada trozo?

  2 

  20 = 2 · 5

   M.C.D. (20, 30) = 2 · 5 = 10

  30 = 2 · 3 · 5

   Han de partirse en trozos de 10 metros cada una. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  1

DE LA UNIDAD

  Página 37

33 En la modalidad deportiva de ciclismo de persecución en pista, uno de

  los corredores da una vuelta al circuito cada 54 segundos y el otro cada 72 se- gundos. Parten juntos de la línea de salida.

  a) ¿Cuánto tiempo tardarán en volverse a encontrar por primera vez en la lí- nea de salida?

  b) ¿Cuántas vueltas habrá dado cada ciclista en ese tiempo?

  3 

  a)

  54 = 2 · 3

  3

  3 

  m.c.m. (54, 72) = 2 · 3 = 216

  3

  2

  72 = 2 · 3 

  Volverán a encontrarse al cabo de 216 segundos, es decir, después de 3 mi- nutos y 36 segundos.

b) El primer ciclista habrá dado 216 : 54 = 4 vueltas.

  El segundo, 216 : 72 = 3 vueltas.

  34 ¿Qué medida tendrá el lado de una baldosa cuadrada que se ha utiliza- do para pavimentar el suelo de un garaje de 123 dm de largo por 90 dm de ancho? (Las baldosas han venido justas, sin necesidad de cortar ninguna).

  123 dm = 1 230 cm 90 dm = 900 cm

  

  1 230 = 2 · 3 · 5 · 41

   M.C.D. (1 230, 90) = 2 · 3 · 5 = 30

  2

  2

  2

  90 = 2 · 3 · 5

   Cada baldosa cuadrada mide 30 cm de lado.

35 Un panadero necesita envases para colocar 250 magdalenas y 75 man-

  tecados en cajas, lo más grandes que sea posible, pero sin mezclar ambos pro- ductos en la misma caja. ¿Cuántas unidades irán en cada caja? ¿Cuántas cajas hacen falta?

  3 

  250 = 2 · 5

  2  M.C.D. (250, 75) = 5 = 25

  2

  75 = 3 · 5

   En cada caja deberán ir 25 unidades.

  Completará 10 cajas de magdalenas y 3 cajas de mantecados.

  SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  1

DE LA UNIDAD

  36 Un alumno quiere cambiar con otro cuadernos de 3,6 euros por rotula- dores de 4,8 euros. ¿Cuál es el menor número de cada clase que pueden cam- biar sin que ninguno de los dos pierda? ¿Cuál es el valor de lo que aporta ca- da uno?

  3,6 € = 360 céntimos de euro 4,8 € = 480 céntimos de euro

  3

  2 

  360 = 2 · 3 · 5

  5

  

2

  m.c.m. (360, 480) = 2 · 3 · 5 = 1 440

  5

  480 = 2 · 3 · 5 

  

  1 440 : 360 = 4

  

  1 440 : 480 = 3

   Pueden intercambiar 4 cuadernos por 3 rotuladores, por un valor, cada paque- te, de 14,4 €.

  37 En un colegio, el número de profesoras es el doble que el número de profesores. ¿Cuál de los siguientes números será igual al total de docentes de dicho colegio?

  17

  20

  

24

  26 El número total de docentes tiene que ser múltiplo de 3.

  El único múltiplo de 3 de los números que se dan es 24. Por tanto, el número total de docentes del colegio es 24. Si en total son 24, dos partes son profesoras y una profesores: 24 : 3 = 8

  8 2 = 16 profesoras × Hay 16 profesoras y 8 profesores.

  38 El mayor de los tres hijos de una familia visita a sus padres cada 15 días, el mediano cada 10, y la menor cada 12. El día de Navidad se reúne toda la familia. ¿Qué día volverán a encontrarse los tres juntos? ¿Y el mayor con el mediano?

  

  15 = 3 · 5

  

  2

  10 = 2 · 5  m.c.m. (15, 10, 12) = 2 · 3 · 5 = 60

  

  2

  12 = 2 · 3 

  Los tres hermanos volverán a encontrarse 60 días después de Navidad (25 de diciembre). Es decir, el 22 de febrero del año siguiente. m.c.m. (15, 10) = 2 · 3 · 5 = 30 El mayor y el mediano se encontrarán transcurridos 30 días, es decir, el 23 de enero del año siguiente.

  SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  1 DE LA UNIDAD PROBLEMAS DE ESTRATEGIA

  39 En una excursión a la montaña, organizada por un club alpino, cada tres miembros comparten una mochila, cada cuatro una brújula y cada seis un mapa. Si entre mochilas, brújulas y mapas hay 27, ¿cuántos miembros del club participan en la excursión? El número de miembros ha de ser múltiplo de 3, de 4 y de 6. m.c.m. (3, 4, 6) = 12

  12 : 3 = 4 mochilas 

  

  12 : 4 = 3 brújulas  4 + 3 + 2 = 9

  

  12 : 6 = 2 mapas

   Como hay 27 objetos entre mochilas, brújulas y mapas, y 27 : 9 = 3, debe ha- ber:

  12 · 3 = 36 miembros Veamos que es cierto:

  36 : 3 = 12 mochilas 

  

  36 : 4 = 9 brújulas  12 + 9 + 6 = 27

  

  36 : 6 = 6 mapas

  

  40 Rosa tiene el triple de discos que Manuel. Si cada uno comprase un disco, Rosa tendría el doble. ¿Cuántos discos tiene cada uno?

  Rosa →

  • 1 = 2 · + 1 = + 2

  ( )

  Manuel →

  • 1 = 2 → = 1 disco Rosa tiene 3 discos y Manuel, 1.

  41 Federico tenía la cuarta parte de dinero que Amelia. Por hacer un reca- do reciben una moneda de 2 € cada uno. Ahora Amelia tiene el triple que Federico. ¿Cuánto tiene ahora cada uno?

  4 € ANTES AHORA El dinero que tenían al principio entre los dos es múltiplo de 5. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  1 DE LA UNIDAD Un múltiplo de 5 más 4 debe ser múltiplo de 4.

                         

  20 + 4 =

  24 Amelia tenía 16 € y Federico, 4 €. Ahora, Amelia tiene 18 € y Federico, 6 €.

42 El número de participantes en un desfile es tal que se pueden agrupar en filas

  de 3 en 3, de 5 en 5 o de 25 en 25, pero no pueden hacerlo de 4 en 4 ni de 9 en 9. ¿Cuál es el número de participantes si sabemos que es mayor que 1 000, pero menor que 1 250? Múltiplos de 3, de 5 y de 25 múltiplos de 75

  → Múltiplos de 75 comprendidos entre 1 000 y 1 250: 1 050 1 125 1 200 Descartamos 1 200 porque es múltiplo de 4, y 1 125 porque es múltiplo de 9. Así, el número de participantes es 1 050. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  2

DE LA UNIDAD

  PÁGINA 52 EJERCICIOS DE LA UNIDAD Sistema de numeración decimal

1 Escribe con cifras:

  a) Trece unidades y ocho milésimas 13,008 →

  b) Cuarenta y dos cienmilésimas 0,00042 →

  c) Trece millonésimas 0,000013 →

2 Expresa con números decimales:

  a) Un cuarto de unidad 0,25 →

  b) Unidad y media 1,5 →

  c) Tres cuartos de décima 0,075 →

  d) Centésima y media 0,015 →

  e) Dos milésimas y cuarto 0,00225 →

3 Copia y completa:

  a) 2 décimas = 2 000 diezmilésimas

  b) 3 milésimas = 3 000 millonésimas

  c) 7 cienmilésimas = 0,007 centésimas

  d) 4 millonésimas = 0,004 milésimas

4 Expresa en millonésimas:

  a) 2,45 unidades = 2 450 000 millonésimas

  b) 0,5 milésimas = 500 millonésimas

  c) 1,2 diezmilésimas = 120 millonésimas

  d) 0,4 cienmilésimas = 4 millonésimas

5 Copia y completa:

  a) 0,05 milésimas = 5 cienmilésimas

  b) 4,2 cienmilésimas = 0,42 diezmilésimas

  c) 25 diezmilésimas = 0,25 centésimas

  d) 1 243 millonésimas = 1,243 milésimas

  SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  2

DE LA UNIDAD

  6 Separa: por un lado, los decimales exactos; por otro, los periódicos pu- ros, y por otro, los periódicos mixtos: Decimales exactos: 13,7 - 1,37 - 0,137

)

Decimales periódicos puros: 13,7 ) - 1,37 ) - 0,137 Decimales periódicos mixtos: 1,37 ) - 0,137 ) - 0,137)

  7 Copia y completa la tabla:

  5

  7

  4

  8 2,5748

  2 + ᎏ + ᎏ ᎏ + ᎏ ᎏ + ᎏ ᎏ 1 0ᎏ

  1 00 1 0

  00 10 000

  8

  6 4,8006

  4 + ᎏ + ᎏ ᎏ 1 0ᎏ 10 000

  5

  3 0,00053

  ᎏ ᎏ + ᎏ ᎏ 10 000 10 000

  7

  6 0,000706

  ᎏ ᎏ + ᎏ ᎏ 10 000 1 00 0 000

  8 Ordena de menor a mayor: 3,0010 < 3,0089 < 3,0090 < 3,0098 < 3,0100 < 3,0150

  9 Coloca los signos < , > o =: 0,05 = 0,050 0,089 < 0,091 0,1 = 0,100 0,4 > 0,399 0,09 < 0,1 0,03 > 0,0298

10 Da el número decimal asociado a cada letra:

  2,53 2,55 B C A

  A = 2,533 B = 2,54 C = 2,545 7 7,002

  M N K M = 7,0005 N = 7,001 K = 7,0017

  3 3,0001 A B C

  A = 2,9999 B = 2,99995 C = 0,00005

  SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  2

DE LA UNIDAD

11 Escribe un número decimal que esté entre:

  a) 5 y 6

  b) 4,5 y 4,7

  c) 2,1 y 2,2

  d) 0,015 y 0,016

  e) 0,009 y 0,01

  f) 0,0425 y 0,04251 Respuesta abierta. Por ejemplo:

  a) 5 < 5,5 < 6

  b) 4,5 < 4,6 < 4,7

  c) 2,1 < 2,15 < 2,2

  d) 0,015 < 0,0155 < 0,016

  e) 0,009 < 0,0095 < 0,01

  

f) 0,0425 < 0,042505 < 0,04251

  12 Copia y completa la tabla: APROXIMACIONES A LAS A LAS A LAS

  

DÉCIMAS CENTÉSIMAS MILÉSIMAS

1,5027 1,5 1,50 1,503

  

18,7 18,72 18,719

18,71894

  

2,1 2,10 2,100

2,0996

  

7,1 7,09 7,091

7,0908

  

8,0 8,00 7,999

7,9992

  13 Aproxima a las diezmilésimas:

  a) 3,2859499 3,2859 →

  b) 2,6005573 2,6006 →

  c) 0,0064795 → 0,0065

  d) 0,0082009 0,0082 →

14 Escribe una aproximación de cada uno de estos números con un error

  menor que cinco milésimas: Aproximando a las centésimas, cometeremos un error menor de cinco milésimas.

  a) 2,8649 → 2,86

  b) 5,00932 5,01 →

  c) 0,02994 0,03 →

  d) 4,305186 4,31 →

  15 Se toma 5,329 como aproximación de 5,328 ). Calcula una cota del error cometido.

  Se ha redondeado a las milésimas, por tanto, se ha cometido un error menor de cinco diezmilésimas.

  16 Supón que para aproximar números decimales nos limitamos a supri- mir todas las cifras que quedan a la derecha de las centésimas. ¿Qué puedes decir, en general, del error cometido? El error es menor de una centésima.

  SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  2

DE LA UNIDAD

  PÁGINA 53 OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

17 Calcula esta sumas:

  a) 3,24 + 2,382 + 2,7618

  b) 0,98 + 0,046 + 0,326

  c) 5,82 + 4,005 + 2,175

  a) 3,24

  b) 0,98

  c) 5,82 2,382 0,046 4,005

  • 2,7618 + 0,326 + 2,175 8,3838 1,352 12,000

18 Calcula:

  a) 12 – 7,458

  b) 125,6 – 15,15

  c) 52,382 – 32,38

  d) 829,3 – 744,46

  a) 12,000

  b) 125,60

  • – 7,458 – 15,15 4,542 110,45

  c) 52,382

  d) 829,30

  • – 32,380 – 744,46 20,002 84,84

19 Calcula:

  a) 8,32 + 5,26 – 3,58 b) 6,04 – 2,83 + 2,69

  c) 8,8 – 2,24 – 2,14

  d) 13 – 6,9 – 3,85

  a) 8,32

  b) 6,04

  • 5,26 – 2,83 13,58 3,21
    • – 3,58 + 2,69 10,00 5,90

  c) 8,80

  d) 13,0

  • – 2,24 – 6,9 6,56 6,1
  • – 2,14 – 3,85 4,42 2,25

  SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  2

DE LA UNIDAD

20 Quita paréntesis y calcula:

  a) 4,25 – (1,2 + 0,75) + 1,06 = 4,25 – 1,95 + 1,06 = 3,36

  b) (0,8 + 0,4) – (1 – 0,23) = 1,2 – 0,77 = 0,43

  c) 5 – [8,2 – (3,6 + 1,9 – 2,4)] = 5 – [8,2 – 3,1] = 5 – 5,1 = –0,1

21 Multiplica:

  a) 2,28 4,5

  b) 6,35 0,6 × ×

  c) 3,16 0,25

  d) 8,125

  12 × ×

a) 2,2 8

  b) 6,3 5 4,5 0,6 × ×

  1 1 4 0 3,810 9 1 2 1 0,2 6 0

  c)

  d) 3,1 6 8,1 2 5 0,25 1 2

  × × 1 5 8 0 1 6 2 5 0 6 3 2 8 1 2 5

  0,7 9 0 0 9 7,5 0 0

22 Multiplica y aproxima el producto a las centésimas:

  a) 8,625 3,24 = 27,945 27,95 × →

  b) 0,08 5,47 = 0,4376 0,44 × →

  c) 0,26 3,159 = 0,82134 0,82 × →

  d) 23,45 15,63 = 366,5235 366,52 × →

23 Completa la tabla y observa:

  8

  10

  20 30 100 400 × 0,5

  4

  5

  10

  

15

50 200 2 2,5 5 7,5 25 100

  × 0,25 Al multiplicar un número por 0,5 se reduce a la mitad (es lo mismo que divi- dirlo entre 2). Al multiplicar un número por 0,25 se reduce a la cuarta parte (es lo mismo que dividirlo entre 4).

  a) 87 : 12

  00 146

  1000 000

  87

  12 030 7,25

  60 14,500 0,464 0580 31,25

  1160 2320 000 400 0,64

  160 6,25 320

  85 610 1,71 150

  b) 38,5 : 1,4

  75 3,2 13 0 60 0,24

  08 38,5 1,4 105 27,5 070

  00 87 : 12 = 7,25 38,5 : 1,4 = 27,25 146 : 85 ⬇ 1,71 3,2 : 13 ⬇ 0,24 71,00 5,17

  1 930 13,73 3790 1710 159

  24,056 8,6 6 85 2,79 836

  62 71 : 5,17 ⬇ 13,73 24,056 : 8,6 ⬇ 2,79 3,81 : 1,25 = 3,048 4 : 0,64 = 6,25

  85,941 : 16,2 = 5,305 14,5 : 0,464 = 31,25

  00810 000 3,81 1,25 00600 3,048

  2 85,941 16,2 0494 5,305

DE LA UNIDAD

24 Calcula el cociente exacto:

  c)

  c) 3,81 : 1,25

  d) 4 : 0,64

  e) 85,941 : 16,2

  f) 14,5 : 0,464

  a)

  b)

25 Calcula los cocientes de estas divisiones con dos cifras decimales:

  d) SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  c)

  e)

  f)

  a) 146 : 85

  b) 3,2 : 13

  c) 71 : 5,17

  d) 24,056 : 8,6

  a)

  b)

  d) SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  2

DE LA UNIDAD

26 Calcula el cociente con un error menor que cinco milésimas:

  Si aproximamos el cociente a las centésimas, cometeremos un error menor de cin- co milésimas.

  a) 18 : 13 ⯝ 1,3846153 → 1,38

  b) 83,4 : 15,9 ⯝ 5,245283 5,25 →

  c) 16,6 : 0,42 ⯝ 39,523809 39,52 →

  d) 4,672 : 0,24 ⯝ 19,4666 → 19,47

  27 Completa la tabla y observa: G

  3

  5

  7

  

10

15 100 : 0,5

  6

  10

  14

  

20

30 200

  12

  20

  28

  

40

60 400 : 0,25 Dividir entre 0,5 es lo mismo que multiplicar por dos.

  Dividir entre 0,25 es lo mismo que multiplicar por cuatro.

28 Reduce y calcula:

  a) 1,6 + 3 · (5,6 – 4,8) = 1,6 + 3 · 0,8 = 1,6 + 2,4 = 4

  b) 2,48 – 3,1 · 0,4 + 2,8 · 1,7 = 2,48 – 1,24 + 4,76 = 6

  c) 4,3 – 0,2 · (0,7 + 1,2 – 0,4) = 4,3 – 0,2 · 1,5 = 4,3 – 0,3 = 4

29 Copia y completa: a) Multiplicar por 0,1 es igual que dividir entre 10.

  b) Multiplicar por 0,2 es igual que dividir entre 5.

  c) Dividir entre 0,01 es igual que multiplicar por 100.

  d) Dividir entre 0,02 es igual que multiplicar por 50.

30 Calcula la raíz cuadrada exacta:

  苶 苶 苶

  a) 1,21

  b) 6,25

  c) 6,76 苶 苶 苶

  d) 4225

  e) 42,25

  

f) 0,4225

  a) 兹1,21

  b) 兹6,25

  c) 兹6,76 苶 = 1,1 苶 = 2,5 苶 = 2,6 d) 兹4 225

  e) 兹42,25

  

f) 兹0,4225 苶 = 65 苶 = 6,5 苶 = 0,65 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS

  2

DE LA UNIDAD

31 Calcular, por tanteo, con una cifra decimal:

  a)

  b)86 苶 兹150

  c)

  d)500 苶 兹930

  2

  2 9 = 81 < 86 (9,2) = 84,64 < 86

  a) 9,2 < 兹86 苶 → → 兹86 苶 < 9,3

  ᎏᎏ 2 ᎏᎏᎏ

  2 10 = 100 > 86 (9,3) = 84,49 > 86

  冦 冦

  2

  2 12 = 144 < 150 (12,2) = 148,84 < 150 12,2 < 兹150 苶 <

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