TEORÍA DE NÚMEROS GRADO EN MATEMÁTICAS

  Teoría de Números Grado en Matemáticas Colección manuales uex - 99

  

TEORÍA DE NÚMEROS

GRADO EN MATEMÁTICAS

99 MANUALES UEX

PEDRO SANCHO DE SALAS

  

TEORÍA DE NÚMEROS

GRADO EN MATEMÁTICAS Edita Universidad de ExtremaduraN Servicio de Publicaciones CN3 Caldererosw B I Planta Bª I X88zX Cáceres 4EspañaF TelfN DBz Bóz 8qX I Fax DBz Bóz 8qú publicac@unexNes wwwNunexNes3 publicaciones

  ISSN XXéóIyz8IX

  ISBN de méritos DzyIyqIú8úIDqDDIX Cualquier forma de reproducciónw distribuciónw comunicación pública o transformación de esta obra

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a CEDRO 4Centro Español de Derechos Reprográ ficosw wwwNcedroNorgF si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obraN

  Índice general Introducción

   2.3. Multiplicidades y grados en dimensión cero . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   3.4.1. Valores absolutos arquimedianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   3.4. Valores absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   3.3.2. Ceros y polos de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   3.3.1. Variedad de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   3.3. Anillos de valoración y cierre entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   3.2. Valoraciones. Anillos de valoración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3. Valoraciones y valores absolutos 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  

   2.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   2.8. Biografía de Fröbenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   2.7. Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   2.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   2.5. Automorfismo de Fröbenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   2.4. Fibras de un morfismo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   2.2. Longitud de un módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  

  2. Fibras de los morfismos finitos 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  

   1.12.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   1.11.Biografía de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   1.10.Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   1.9. Apéndice: Métrica de la traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   1.8. Finitud del morfismo de desingularización . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   1.7. Desingularización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   1.6. Anillos de curvas y anillos de enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   1.5. Dominios de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   1.4. Dominios de ideales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   1.3. Dominios de factorización única . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   1.2. Anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1. Anillos de enteros 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  

  ÍNDICE GENERAL 3.4.2. Valores absolutos no arquimedianos . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   3.5. Producto de valores absolutos de una función . . . . . . . . . . . . . . . . .

   3.6. Apéndice: Variedades proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   3.7. Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   3.8. Biografía de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   3.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  

4. Teoremas de la Teoría de Números

   4.2. Divisores afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   4.10.1. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  Índice de términos

  Bibliografía

  4.13.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4.12.Biografía de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  

   4.11.Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   4.10.La función zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   4.3. Divisores completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   4.9. Número de ideales de norma acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   4.8. Invertibles. Elementos de norma 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   4.7. El discriminante: invariante fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   4.5. Teorema de Riemann-Roch débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   4.4. Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   4.6. Finitud del grupo de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  Introducción

  El presente texto está concebido por el autor como el manual de la asignatura cuatrimestral Teoría de Números, del cuarto curso del Grado de Matemáticas de la UEX. Este curso es una introducción a la Teoría de Números y hacemos un especial énfasis en la relación de esta teoría con la Teoría de Curvas Algebraicas. Suponemos que los alumnos han cursado antes un curso de Teoría de Galois (Álgebra I) y un curso de Variedades Algebraicas (Álgebra II).

  El manual está divido en cuatro temas. En cada tema incluimos un cuestionario, una lista de problemas (con sus soluciones) y la biografía de un matemático relevante (en inglés).

  Describamos brevemente el contenido de la asignatura. La Teoría de Números, "the Queen of Mathematics", es la rama de las Matemáticas más antigua y que modernamente usa conceptos y herramientas de las más diversas ramas de las Matemáticas, como el Álgebra, la Geometría, el Análisis, la Variable Compleja, etc. La Teoría de Números es la rama de las matemáticas que estudia los números naturales y las soluciones de los sistemas de ecuaciones diofánticas (sistemas de ecuaciones con coeficientes números enteros). El estudiante conoce ya tópicos de la Teoría de Números: El teorema fundamental de la Aritmética (o teorema de factoriza- ción única), la teoría de congruencias, etc.

  Para la resolución de múltiples problemas enunciados sólo en términos de números naturales y para la resolución de los sistemas de ecuaciones diofánticas, es necesario considerar los anillos de números enteros, que son los anillos generados por raíces de un polinomio con coeficientes enteros. Por ejemplo, en el problema de qué números primos son suma de dos cuadrados perfectos conviene considerar el anillo de enteros de Gauss Z [i]. Este anillo es un anillo euclídeo, por lo tanto es un dominio de factorización única.

  Por desgracia, en general los anillos de números enteros no son dominios de fac- torización única. Dado un anillo de números enteros, A, existe un número finito de fracciones a /b (raíces de polinomios mónicos con coeficientes en Z ) de modo que

  n n

  B : A [a /b ,..., a /b ] ya es casi un dominio de factorización única: todo ideal de B

  =

  1 1 n n

  (principal o no) es igual a un producto de ideales primos de modo único. Estos anillos, B , son anillos localmente de ideales principales (como lo es Z ). Para todo ello estu- diaremos la dependencia entera y la desingularización. Estamos hablando, pues, de los dominios de factorización única y cómo resolver el problema de que un anillo de números enteros no sea dominio de factorización única.

  Para el estudio de un anillo de números enteros A (como para el estudio de las ecua- ciones diofánticas), conviene estudiar A/pA para todo primo p, es decir, conviene hacer Introducción congruencias módulo p. Así el grupo de Galois de un polinomio P(x) con coeficientes en Z (o con coeficientes en un anillo de números enteros A) , queda determinado por el grupo de Galois de las reducciones de P(x) módulo p (variando los primos p), que es el grupo de Galois de un cuerpo finito, que es un grupo cíclico generado por el automor- fismo de Fröbenius. Obtendremos múltiples aplicaciones de este hecho, entre ellas el cálculo del grupo de Galois de diversos polinomios, la Ley de reciprocidad cuadrática de Gauss, etc.

  Para el estudio de un anillo de números enteros A (y la clasificación de estos ani- llos) se introducen el discriminante de A, el grupo Pic(A) y el grupo de los invertibles de A. El teorema de Hermite afirma que sólo existe un número finito de cuerpos de números de discriminante fijo dado. El grupo de los ideales de A módulo isomorfismos, Pic(A), es un grupo finito. Como consecuencia se obtiene que existe una extensión fi- nita de anillos de A, B, tal que todo ideal de A extendido a B es principal. Probamos que el grupo de los invertibles de A, que son los elementos de norma 1, es un grupo

  ±

  finito generado, cuya parte de torsión es el grupo de las raíces de la unidad que están en A.

  Por último introducimos la función zeta de Riemann, que es de gran importancia en la Teoría de números en el cálculo de la distribución de los números primos. Aplicamos la función zeta de Riemann para determinar cuándo dos extensiones de Galois son isomorfas y para demostrar que un sistema de ecuaciones diofánticas tiene soluciones complejas si y sólo módulo p admite soluciones enteras, para infinitos p.

  La Teoría de Curvas Algebraicas y la Teoría de Números están estrecha y sor- prendentemente relacionadas. Z y k[x] son anillos euclídeos y ambos son dominios de factorización única. Los anillos de funciones algebraicas de las curvas algebraicas son k [x]-álgebras finitas (geométricamente: toda curva se proyecta vía un morfismo finito

  Z

  en la recta afín). Los anillos de números enteros, como veremos, son -álgebras finitas

  p

  ( Z [ 2], Z [i] son ejemplos). Estamos hablando en ambos casos de anillos noetherianos de dimensión de Krull 1. Entre estos anillos, en ambas teorías, destacarán los anillos que son localmente anillos de ideales principales: los anillos de Dedekind. En la teoría de Galois se han estudiado anillos de dimensión de Krull cero, ahora estudiamos los de dimensión de Krull 1.

  Finalmente, quiero agradecer al profesor Juan Antonio Navarro González el haber puesto a mi disposición sus notas sobre la Teoría de Números, en las que me he basa- do para escribir este curso. También agradezco al profesor Juan Bautista Sancho de Salas sus notas sobre valoraciones y valores absolutos que he seguido para escribir el capítulo tercero.

  Capítulo 1 Anillos de enteros y anillos de curvas algebraicas

1.1. Introducción Veamos algunos ejemplos y problemas clásicos de la teoría de números.

  En el segundo curso del Grado en Matemáticas hemos probado que Z y k[x] son anillos euclídeos. Hemos demostrado que todo entero descompone en producto de nú- meros primos, el algoritmo de Euclides, etc.

  1. Calculemos las soluciones enteras de la siguiente ecuación diofántica (es decir,

  ecuación con coeficientes enteros), 2000x 266y

  4

  − = −

  Primero calculemos mediante el algoritmo de Euclides, n , m , tales que

  ∈ Z

  m m 2000n 266 ( ) .c.d(2000,266)

  − + · =

  a. 2000 7 266 138. b. 266 1 138 128. c. 138 1 128 10. d. 128

  12 10 8 e.

  = · + + = ·

  • = · = · +

  10

  1

  8

  2. Luego, m .c.d(2000,266)

  2. Lo cual era evidente, pero ahora sabremos

  • = · =

  calcular n y m: 2

  10

  1

  8

  10 1 (128 12 10) 128

  13 10 128 13(138 128)

  = − · + = − · − + · = − · = − − =

  13 138 14 128 13 138 14(266 138) 14 266 27 138 14 266 27(2000

  7

  · · = + − · − − · + = − · = − · − ·

  266) 27 2000 203 266.

  = · − ·

  Por tanto, una solución particular de nuestro sistema de ecuaciones diofánticas es x 2 27 54, y 2 203 406. Las soluciones de la ecuación homogénea

  = − · = − = − · = − 2000x 266y 0 son las soluciones de 1000x 133y 0, que son x n 133, y n 1000.

  − = − = = · = ·

  Todas las soluciones de nuestro sistema de ecuaciones diofánticas son

  ½

  · + = −

  x 54 n 133

  y n 406 1000

  • = − ·

  2. Sabemos también resolver los sistemas de ecuaciones lineales diofánticos. Con-

  sideremos el sistema de ecuaciones a x a x b

  11 1 + ··· + 1n n =

  1 ···

  a x a x b

  m mn n m

  1 1 + ··· + = Anillos de enteros

  1.1. Introducción con a , b para todo i , j.k, que escribimos abreviadamente A x b . Mediante

  i j k ∈ Z · =

  transformaciones elementales (en columnas y filas), sabemos calcular matrices cua- dradas invertibles B y C de modo que B A C (d ), con d 0 para todo i , j.

  · · = i j i j = ′ −1 ′

  C x B b Entonces, si denotamos x : y b : ,

  = · = · ′ ′ ′

  x B C x B A x B b b (d ) (a )

  

i j · = · i j · · = · · = · =

  Sistema que sencillo de resolver y acabamos porque x C x .

  = · Veamos otros ejemplos de anillos (de números enteros) euclídeos.

  Recordemos que un anillo íntegro A se dice que es euclídeo si existe una aplicación : A , que cumple

  δ \{ } → N

  δδ

  A 1. (a) (ab), para todo a , b \{ } .

  A A A bc r

  2. Para cada a y b no nulo, existen c , r , de modo que a , y r es

  • ∈ ∈ ∈ = nulo ó (r) (b).

  δ < δ

3. El anillo de los enteros de Gauss, Z a bi

  [i] : : a , b , es euclídeo: Sea

  • = { ∈ C ∈ Z}

  2

  

2

′ ′

  : definido por (z) z ¯z a b (con z a

  δ δ C → N = · = = = δ

  • bi ). Como (zz ) (z) (z ),
  • δ δ

  ′ ′ ′ ′

  ≤ δ ∈ Z ∈ Z ′ ′ ′ ′

  , entonces δ (z) (zz ), para todo z , z [i], no nulos. Dados z , z [i], z 0, sea c un

  − < − < δ = ′ ′ r z z c y (r) (z ).

  c z c z c r entero de Gauss tal que (z/z ) 1 (luego (z ) (z )). Entonces, z , con

  • δ δ

  δ = − < δ

  Veamos que un número primo p descompone en suma de dos cuadrados perfec-

  ∈ Z

  2

  2

  = = · − + + ′ ′

  a b bi bi tos si y sólo si p no es irreducible en Z [i]: Si p entonces p (a ) (a ) y

  p no es irreducible en Z [i]. Recíprocamente, si p z z , con z , z [i] y no invertibles,

  = · ∈ Z

  2 ′ ′

  entonces p (p) (z) (z ), luego p (z) (z ) (si δ (z) 1, entonces z sería uno

  = δ = δ · δ = δ = δ =

  2

  2

  de los invertibles 1 , i ), luego p a b (donde z a bi ).

  • ± ± = = +

  Veamos cuándo el número primo p es irreducible en Z [i]. Que p sea irreducible equivale a que Z [i]/(p) sea cuerpo. Denotemos F /p Z y observemos que Z [i]

  p = Z =

  2

  

2

  2 Z [x]/(x 1). Entonces, Z [i]/(p) [x]/(x 1) es cuerpo si y sólo si x 1 no tiene p = F + + + raíces en F , es decir, 1 no es un resto cuadrático módulo p. p −

  2 2 ∗2 ∗

  ∗ ∗2

  Sea F a , a } , con p , 2. El núcleo del epimorfismo F , a a es 1 } .

  = { ∈ F → F 7→ {± p p p p ∗2 ∗2 ∗

  Por tanto, (p 1)/2. Luego, F es un subgrupo de F de índice 2 y coincide con

  |F p | = − p p

p−1

  

2

  a el núcleo del epimorfismo F 1 } , a .

  p → {± 7→ p−1 p−1 ∗2

  1 si y sólo si ( 1) 1 (o p 2), que equivale a que sea par,

  − ∈ F − = = p

2 Por tanto,

  2 Z

  que equivale a que p 1 m´od 4. Con todo, p es irreducible en [i] si y sólo si p

  3

  ≡ ≡ m´od 4.

  En conclusión, un número primo p descompone en suma de dos cuadrados

  

∈ Z

  perfectos si y sólo si p 1 m´od 4 ó p 2.

  ≡ =

  2

  2 Sea n suma de dos cuadrados perfectos, n a b (a

  • bi ) (a bi ). S
  • ∈ Z = = · − ∈ Z

  r

  • 2s ′ ′ a bi . Por tanto, n p n , con n no divisible por p y suma de dos cuadrados perfectos.

  bi un número primo, irreducible en Z [i]. Obviamente, p divide a a si y sólo si divide a

  − = ·

  Si n es producto de números enteros que son suma de cuadrados perfectos entonces es suma de cuadrados perfectos. Por tanto, la condición necesaria y suficiente para que un número natural sea suma de dos cuadrados perfectos es que en la descomposición

  1.1. Introducción Anillos de enteros como producto de potencias de primos los exponentes de los primos congruentes con 3 m´od 4 sean pares.

  4. Resolvamos la ecuación diofántica

  2

  2

  a b 2178

  = +

  bi bi bi Tenemos que calcular los enteros de Gauss a [i], tales que δ (a ) (a )(a

  • ∈ Z = + −

  2

  2

  2

  2

  bi ) a b 2178

  2

  3 11 . Observemos que 3 ,11 3 m´od 4, luego son primos en

  = + = = · · = ′ ′ ′ ′

  bi bi b i b i

  Z [i] y han de dividir a a , es decir, a

  3 11 (a ) y δ (a )

  2. Por tanto,

  • = · · = +

  ′ ′ { (a , b ) (1 ,1),(

  1 , 1) ,( 1 ,1),(1, 1) } y

  = − − − − { (a , b) (33 ,33),(

  33 , 33) ,( 33 ,33),(33, 33) } .

  = − − − − ′

  Calculemos las soluciones racionales de la ecuación anterior: Dados z , z [i],

  ∈ Q ′ ′′ ′ ′′ ′′

  (z) (z ) si y sólo existe z [i] tal que z z z y (z )

  1. El teorema 90 de

  δ δ

  = δ ∈ Q = =

  2

  2 c 2cd −d

  ′′ ′′

  Hilbert afirma que (z ) 1 si y sólo si z (c d i )/(c d i ) i . Por tanto,

  δ

  • =

  2

  2

  2 c c

  • d +d

  2 + = − =

  bi

  δ (a ) 2178 si y sólo = +

  2

  2

  2

  2

  2

  c d d c d 2cd 33(c ) 2cd

  − − − +

  a bi i i

  (33 33i) : c , d 33 : c , d

  • ∈ + ∈ Z} = { + ·{

  ∈ Z} +

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  c d c d c d c d

  2πi/3

  5. El anillo de números enteros de Kummer, Z

  [e ], es un anillo euclídeo: Se puede argumentar igual que como hemos hecho con el anillo de números enteros de Gauss.

  Kummer, para probar el teorema de Fermat, es decir, para demostrar que la ecua-

  n n n

  ción x y z no tiene soluciones enteras (x , y , 0) hizo la descomposición

  = + n n n 1 n

  x z y y y (z ) (z ) ,

  = − = − ξ ··· − ξ P i

  i

  a siendo ξ una raíz primitiva n-ésima de la unidad y trabajó con los números ξ ,

  a . Es decir, trabajó en el anillo (concepto general introducido más tarde por De-

  i ∈ Z

  dekind) de enteros Z [ ξ ]. Argumentando sobre la factorización única, probó que la des- composición anterior no es posible, con x , y, z no nulos. Dirichlet le hizo observar

  

∈ Z

  a Kummer el error (cometido también por Cauchy y Lamé) de suponer que todos los anillos de enteros eran dominios de factorización única. Consideremos por sencillez

  p Z

  el anillo [ 5], tenemos dos descomposiciones en factores irreducibles 6

  2

  3

  − = · = p p

  (1 5) (1 5). Para restaurar la factorización única Kummer introdujo los nú-

  − + · − − p

  meros ideales (no dio una definición general). Si bien 1 5 y 2 son irreducibles

  − + p

  2

  observemos que (1 5) es múltiplo de 2. Es como si hubiese un m.c.d. “ideal” de

  • − p p p p p

  2 y 1

  5. En la extensión Z [ [(1 5)/ 2 , 2] tenemos la factoriza-

  − − 5] , +

  • → Z −

    p p p p p

  2

  ción única por irreducibles 6 2 ((1 5)/ 2) (1 5)/ 2 (si bien ya estamos

  = · − · − + −

  en anillos de enteros que no son los de partida). Dedekind observó que lo que estaba definiendo Kummer era el concepto de ideal (recordemos que en los dominios de idea- les principales (a ,..., a ) (m .c.d.(a ,..., a )), el concepto de ideal primo y que había

  1

  n n 1 =

  probado que en tales anillos (dominios de Dedekind) todo ideal es producto de ideales primos. Hilbert (con las “torres de Hilbert”) probó que todo anillo de enteros se mete en otro anillo mayor donde sus ideales se hacen principales.

  Anillos de enteros

  1.2. Anillos noetherianos

  n n−1

  6. Sea x c x c [x] un polinomio irreducible y sean ,..., sus α α

  • 1 + ··· + n ∈ Z

  1 n

  raíces. Consideremos Z [ α ] y la norma N : Z [ α ] , donde dado z [ α ], N(z)

  1

  1

  1 ⊂ C → N ∈ Q

  es el determinante de la homotecia de factor b en Q [ ]. Si z a b , entonces N(b)

  1 = 1 = Q

  • α α
  • i i n n n−1

  b (a α ).

  c a b c b c Resolver la ecuación diofántica a , equivale a encontrar

  • 1 n
  • ··· + =

  los z a b [ ], tales que N(z) c . Advirtamos, que en general, Z [ ] no es

  α α α

  = − 1 ∈ Z 1 =

  1

  un dominio de factorización única, ni sus invertibles son simplemente las raíces de la unidad incluidas en Z [ ].

  α

  1 Por desgracia los anillos de la Teoría de Números y los anillos de funciones alge-

  braicas de las curvas algebraicas no son dominios de factorización única. Tampoco son anillos localmente de ideales principales, si lo fuesen serían localmente dominios de factorización única, pero pueden incluirse en anillos “un poco más” grandes que sí lo son. Este capítulo trata de los problemas de la factorización única en estos anillos y cómo resolverlos.

  1.2. Anillos noetherianos

  

1. Definición : Se dice que un A-módulo M es noetheriano si todo submódulo de M es

  finito generado. Se dice que un anillo A es noetheriano si es un A-módulo noetheriano, es decir, si todo ideal es finito generado.

  

2. Ejemplos : Si k es un cuerpo entonces es un anillo noetheriano y los k-módulos

noetherianos son los k-espacios vectoriales de dimensión finita.

  Z y k[x] son anillos noetherianos.

  3. Proposición: Sea M un A-módulo y N M un submódulo. M es noetheriano ⊆ ⇐⇒

  N y M /N son noetherianos. Demostración. La implicación directa es obvia.

  ′ ′

  M N n Veamos la inversa: Dado un submódulo N , tenemos que N ,..., n

  1 r ⊂ ∩ = ⟨ ⟩

  ′ ′

  ¯ ′ es un módulo finito generado. La imagen del morfismo N M /N, n n es isomorfa

  → 7→ ′ ′

  ∩ ′ ′ ′ tanto, N /(N N ) m ¯ ,..., ¯ m . Por tanto, N n ,..., n , m ,..., m .

  N a N /(N ), que como es un submódulo de M/N, es un módulo finito generado. Por

  ∩ = ⟨ 1 s ⟩ = ⟨ 1 r 1 s ⟩ ′ ′′

  ′ ′′

  

4. Corolario : M M M es un A-módulo noetheriano si y sólo si M y M son

= ⊕ A-módulos noetherianos.

  ′ ′ ′ ′ Demostración.

  → 7→ ′ ′′ ′′ ′ ′′

  M Podemos considerar M como submódulo de M: M , m (m ,0). ,

  Como M/M M , (m , m ) m , concluimos por la proposición anterior.

  ≃ 7→

  

5. Teorema : Si A es un anillo noetheriano todo A-módulo finito generado es noethe-

riano. n

  Demostración. Si M A entonces es noetheriano por el corolario anterior. Si M

  = = P n n

  m M a m

  ,..., m , entonces es isomorfo a un cociente de A : A , (a ) . Por

  1 n i i i

  ⟨ ⟩ → 7→ i tanto, M es noetheriano.

  1.2. Anillos noetherianos Anillos de enteros

  p

  3

  3

  2

  6. Ejemplo : Z [ 2] [x]/(x 2) es un Z -módulo generado por ¯1 , ¯x, ¯x (de hecho es ≃ Z − p p

  3

  3

  una base). Por tanto, Z [ 2] es un Z -módulo noetheriano. Luego, Z [ 2] es un anillo noetheriano.

  7. Teorema de la base de Hilbert : Si A es un anillo noetheriano entonces A[x] es un anillo noetheriano.

  Demostración. Sea I A [x] un ideal. Tenemos que ver que es finito generado:

  ⊂

  Sea J A el conjunto formado por los coeficientes de máximo grado de los p(x) I .

  ⊆ ∈ n

  a x Es fácil ver que J es un ideal de A. Observemos para ello, que si p(x)

  = + ··· + m m n n+m

  a b x b I p x q b

  I , q(x) , entonces x (x) (x) (a )x , luego si

  n m = + ··· + ∈ = + ··· ∈ + + a , b J entonces a b .

  J

  ∈ ∈ +

  Por ser A noetheriano, J (b ,..., b ) es finito generado. Así, existen p ,..., p

  I

  r r

  =

  1 1 ∈

  cuyos coeficientes de grado máximo son b ,..., b , respectivamente. Además, multipli-

  1 r

  cando cada p por una potencia conveniente de x, podemos suponer que gr p

  i

  1 = ··· = gr p . Escribamos gr p m . r i = n

  a x a I m b Dado p(x) . Supongamos que n . Escribamos a

  n

  1

  1 = +···+ ∈ ≥ = λ +···+ P P n−m n−m

  b , con A para todo i. Tenemos que p(x) x p I y gr(p(x) x p )

  λ λ λ λ r r i ∈ − i i ∈ − i i < i i

  gr p(x).

  Recurrentemente obtendré que

  m−1

  I I A Ax Ax (p ,..., p ) }

  = + + 1 r A [x] ∩ { + ··· + m−1

  Ahora bien, I A

  ∩{ +···+ m−1

  • Ax Ax } es un A-módulo finito generado ya que es submó-
  • ··· + +

  A Ax Ax dulo de { } , que es un A-módulo noetheriano. En conclusión, si es-

  m−1

  1 s A 1 r 1 s ∩{ +···+ } = ⟨ ⟩ +

  A Ax Ax q cribimos I ,..., q , tenemos que I (p ,..., p , q ,..., q ).

  =

  8. Corolario : Si A es un anillo noetheriano entonces A[x

  ,..., x ]/I es un anillo noet-

  1 n heriano.

  Demostración. A [x ,..., x ] A [x ,..., x ][x ] es noetheriano por el teorema de la

  n n 1 = 1 n−1

  base de Hilbert y por inducción sobre n. Por tanto, el cociente A[x ,..., x ]/I es un

  1 n anillo noetheriano.

  9. Definición : Sea A un anillo íntegro. Un elemento propio (no nulo ni invertible) de

  A se dice que es irreducible si no descompone en producto de dos elementos propios.

  10. Ejercicio : Sea A un anillo íntegro y a A A

  . Si (a) es un ideal primo, probar

  ∈ ⊂ que a es irreducible.

  11. Proposición : Un módulo M es noetheriano si y sólo si toda cadena creciente de

  submódulos de M, M M M estabiliza, es decir, para n M , 0, M

  1 2 n n m

  ⊆ ⊆ ··· ⊆ ⊆ ··· >> = para todo m n. ≥

  Demostración. M M Si M es noetheriano y M una cadena creciente de

  1 ⊆ 2 ⊆ ··· ⊆ n ⊆ ···

  = ∪ = ⟨ ⟩ >> m ,..., m M , luego M N M , es decir, N M y M M , para todo m n .

  M m submódulos de M, consideremos el submódulo N : ,..., m . Para n 0,

  1 r ∈ n n ⊆ ⊆ n = n n = m ≥

  Anillos de enteros

  1.3. Dominios de factorización única Veamos el recíproco. Sea N un submódulo, si N , 0 sea 0 , m N y M : m .

  1 ∈ 1 = ⟨ 1 ⟩

  , N N M m Si M , sea m \ y M : , m . Así sucesivamente vamos construyendo

  1

  2

  1

  2

  1

  

2

∈ = ⟨ ⟩ una cadena 0 M M M que por la propiedad exigida a M ha de ser finita.

  ⊂ , , , , 1 ⊂ 2 ⊂ 3 ⊂ ···

  M m Luego, para n 0, N ,..., m .

  n 1 n >> = = ⟨ ⟩

12. Teorema de descomposición en factores irreducibles: Todo elemento propio

  a

  A, de un anillo noetheriano íntegro, descompone en producto de factores irreducibles

  ∈ a p p . = 1 ··· n

  Demostración. Empecemos probando que a todo elemento a A lo divide algún ele-

  ∈

  1

  1

  1

  1 = ·

  a b mento irreducible: Si a no es irreducible entonces a , a , b elementos propios.

  Si a no es irreducible, entonces a a b , con a , b elementos propios. Así sucesi-

  1 1 = 2 ·

  

2

  2

  2

  vamente, vamos obteniendo una cadena (a) (a ) (a ) ... que ha de ser finita por

  ⊂ , , , 1 ⊂ 2 ⊂ noetherianidad y terminará cuando a sea irreducible. n

  a b Ahora ya, sea a irreducible que divide a a y escribamos a . Si b no es

  1

  1

  1

  1 = ·

  irreducible sea a irreducible, que divide a b y escribamos a a b a a b . Así

  2 1 = 1 · 1 = 1 · 2 ·

  2

  sucesivamente, vamos obteniendo la cadena (a) (b ) (b ) ... que ha de ser finita

  1

  2 ⊂ ⊂ ⊂ , , ,

  y terminará cuando b sea irreducible. En tal caso a a a b es producto de

  n = 1 ··· · n n−1

  irreducibles.

1.3. Dominios de factorización única

  

1. Definición : Se dice que un anillo íntegro, A, es un dominio de factorización única

  si todo elemento propio de A es igual a un producto de irreducibles de modo único, salvo factores por invertibles y orden.

  Z , k[x] y en general los anillos euclídeos son dominios de factorización única.

  2. Lema de Euclides: Sea A d.f.u. y a A no nula. Entonces, a es irreducible ∈ ⇐⇒ A es un ideal primo.

  (a)

  ⊂

  Demostración. c A c a d ) Sea b (a). Existe d tal que b . Si consideramos las

  ⇒ · ∈ ∈ · = ·

  descomposición en factores irreducibles de b, c y d, y recordamos que A es d.f.u. , tenemos que a aparece (salvo multiplicación por un invertible) en la descomposición en producto de factores irreducibles de b o c. Luego, a divide a b o c. En conclusión,

  ⊂

  A (a) es un ideal primo.

  

3. Definición : Un polinomio P(x) A [x] se dice primitivo cuando sus coeficientes no

  = · ∈ a es invertible.

  a Q A admiten un divisor común no invertible, es decir, si P(x) (x) con a , entonces

  

4. Lema : Sea A un dominio de factorización única con cuerpo de fracciones Σ. Sean

  P (x) ,Q(x) A [x] dos polinomios primitivos. Entonces,

  ∈ 1. P (x) Q (x) es primitivo.

  ·

  1.3. Dominios de factorización única Anillos de enteros

  2. Si existen a , b A tales que a P (x) b Q (x), entonces b a u, para cierto inver-

  ∈ · = · = · b b

  tible u

  A. Por tanto, si P Q u A es un invertible (x)

  ∈ = · (x) en Σ[x], entonces = ∈ a a

  de A. Demostración.

  1. Supongamos que P(x) Q (x) a R (x), con R(x) A [x] y a A no

  · = · ∈ ∈

  A A invertible. Sea p irreducible que divida a a. Haciendo cociente en A[X ] por p [x],

  ∈ ·

  tenemos que P (x) Q (x) A [x]/p A [x] (A/pA)[x]

  · = ∈ · = lo cual es contradictorio, porque (A/pA)[x] es íntegro y P(x) y Q(x) son no nulos.

  2. Sea p un elemento irreducible que divida a a. Haciendo cociente en A[X ] por p A [x], tenemos que 0 ¯b Q (x), luego ¯b 0 y p divide a b. Dividiendo a a y b a la

  · = · =

  vez por p y repitiendo sucesivamente este proceso obtendremos que a divide a b, y por simetría que b divide a a. Luego, b a u , para cierto invertible u A .

  = · ∈ 5. Teorema : Sea A un dominio de factorización única con cuerpo de fracciones Σ.

  Un polinomio no constante primitivo, P A (x) [x], es irreducible en A[x] si y sólo si es

  ∈ irreducible en Σ[x].

  Demostración.

  P (x) P (x), con Supongamos que P(x) es irreducible en Σ[x]. Si P(x) =

  1 ·

  2 P A

  (x) , P (x)

  1

  2

∈ [x], entonces como P(x) es irreducible en Σ[x], uno de los dos polinomios

  P (x) o P (x) ha de ser de grado cero, digamos P (x) a . Como P(x) es primitivo P (x)

  1

  2 1 = 1 =

  a A es invertible. En conclusión, P(x), es irreducible en A[x].

  ∈

  ˜ ˜ Supongamos que P(x) es irreducible en A[X ]. Supongamos que P(x) P (x) P (x),

  = 1 ·

  2 P P

  siendo ˜ (x) , ˜ (x)

  1 2 Σ[x]. Eliminando denominadores podemos suponer que ∈

  a P P P

  (x) (x) (x)

  = 1 ·

  2

  b

  a

   , luego P(x) no es irredu-

  1

  2 ∈ = ∈ b cible en A[x] y hemos llegado a contradicción.

  A u A con P (x) , P (x) [x], primitivos. Por el lema

6. Teorema (Gauss): Si A es un dominio de factorización única, entonces A[x] tam- bién lo es.

  Demostración. A el cuerpo de fracciones. Sea P(x) A [x] y escribamos Sea Σ = A \{ 0} ∈

  P a Q A A (x) (x), con a y Q(x) [x] primitivo. Sea

  = · ∈ ∈

  Q (x) Q (x) Q (x)

  = e 1 ··· e r

  la descomposición en irreducibles en Σ[x]. Eliminando denominadores y sacando el máximo común divisor en los numeradores, es claro que se puede escribir: b

  Q (x) Q (x) Q (x) ( )

  = ·

1 ··· r ∗

  c

  a i e con Q (x) Q (x) A [x] primitivos. i = i ∈ b i Anillos de enteros

  1.4. Dominios de ideales principales

  b

  Por el lema

  

  • u A es un invertible de A.

  = ∈ c

  Cada Q

  i

  (x) es irreducible en A[x] porque lo es en Σ[x] y por el teorema • p p Descomponiendo a en producto de irreducibles en A, se obtiene una des-

  1 s = ···

  composición de P (x) a Q (x) u p p Q (x) Q (x)

  = · = · 1 ··· s 1 ··· r en A[x].

  Unicidad q q P P : Si P(x) (x) (x), entonces cada P

  1 l 1 t i = ··· ··· (x) es irreducible en Σ[x]

  por el teorema

  Por tanto, los polinomios P (x) (una vez reordenados) difieren de i

  los Q (x) en invertibles de A. Tachando los términos polinómicos comunes se obtiene,

  i

  salvo invertibles de A, la igualdad q q p p , de donde salvo permutación de

  1 ··· l = 1 ··· s

  i i =

  p los factores es q (salvo invertibles de A).

  Por el teorema de Gauss, Z [x ,..., x ] y k[x ,..., x ] son dominios de factorización

  1 n 1 n única.

1.4. Dominios de ideales principales

  

1. Definición : Se dice que un anillo es un dominio de ideales principales si es un

anillo íntegro y todos sus ideales son principales (es decir, generados por un elemento).

  Evidentemente, los dominios de ideales principales son noetherianos.

  2. Ejemplo : Los anillos euclídeos son d.i.p. Así pues, Z y k[x] son d.i.p.

  3. Ejercicio : Probar que k[x, y] no es d.i.p.

  A es un elemento irreducible de un dominio de ideales

  4. Lema de Euclides : Si a ∈ principales, entonces (a) A es un ideal primo.

  ⊂

  Demostración. Si a es irreducible y divide a bc, entonces si a no divide a b implica que A a b ac bc c

  (a , b) (1). Por tanto, existen α , tales que α

  1. Luego α . De

  

= β ∈ + β = + β =

esta igualdad obtenemos que a divide a c.

  5. Teorema : Si A es d.i.p. entonces es d.f.u.

  Demostración.

  Por ser A noetheriano todo elemento propio del anillo es producto de p p q q irreducibles. Veamos ahora la unicidad. Sean a dos descomposi-

  1 n 1 m = ··· = ···

  ciones en factores irreducibles. Por el Lema de Euclides, q divide algún factor p , lue-

  1 i

  1

  1 =

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