APUNTES DE MATE V

  MA TEMATICAS V GEOMETRIA ANALITICA No. UNIDAD NO. 1

  LA RELACION ENTRE FUNCION LINEAL LUGAR GEOMETRICO Y SISTEMAS DE REFERENCIA. OBJETIVOS DE OPERACIÓN 1.0 El lugar geométrico en diferentes sistemas de referencia.

  1.1 Representar geométricamente un lugar geométrico.

  1.2 Sistemas de referencia polar y rectangular (r , Ѳ) y (x , y )

  1.3 Transformar coordenadas de un punto del sistema polar al sistema rectangular.

  1.4 Transformar coordenadas de un punto del sistema rectangular al sistema polar.

  1.5 Calcular la división de un segmento en una razón dada.

  1.6 Calcular la distancia entre dos puntos.

  2.7 Función lineal como lugar geométrico en diferentes sistemas de

  IONES CONICAS: “UN CASO GENERAL

OBJETIVO: El estudiante relacionará la forma de las curvas cónicas con su

  modelo algebraico en su forma particular y general y conocerá las aplicaciones geométricas y físicas más importantes, a través de la revisión de la forma geométrica de las mismas, de la diferencia entre función y relación, así como la deducción algebraica de dicha expresión para determinar algunas de sus propiedades y conocer la forma en que éstos modelos se aplican en la solución de problemas de ésta y otras disciplinas como la mecánica y la óptica entre otras.

  No UNIDAD NO.2 “ SECCIONES CONICAS” OJETIVOS DE OPERACION

  3.0 Explorando las cónicas

  

LA RELACION ENTRE FUNCION LINEAL, LUGAR GEOMETRICO Y

SISTEMAS DE REFERENCIA.

  

OBJETIVO: El estudiante comprenderá la idea de lugar geométrico

  correspondiente a la función lineal y su relación en diferentes sistemas de referencia (polares y rectangulares), mediante su representación grafica en los sistemas de referencia coordenados mencionados y el análisis algebraico de la función, para descubrir algunas de las propiedades de éste tipo de función, así como sus diferentes aplicaciones en diversos problemas.

  INTRODUCCIÓN.

  Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con lay concluye con la aparición

  Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son: 1.- Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.

  2.- Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que la cumplen.

  La Geometría Analítica fue iniciada y desarrollada por el eminente matemático y filósofo Renato Descartes. Por eso a este sistema de ejes coordenados también se le conoce como "Sistema Cartesiano".

  1.0 LUGAR GEOMÉTRICO Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquse puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedadestodos los distancia a dos puntos fijos, lode la elipse).

  El sistema de coordenadas polares es un o posición del plano se determina por un De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r

  , θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo enmedido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial» mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

  Para construir el sistema de coordenadas polares en el plano, fijamos un punto

  

“o” que se denomina origen y a partir de él se señala un segmento horizontal

  llamado eje polar; posteriormente se traza el ángulo requerido y se mide la distancia que marca la coordenada; como puede verse en la siguiente figura.

  

Cartesiano” en honor a René Descartes (1596-1650), celebre filosofo y

matemático francés y creador de la geometría analítica. Quiso fundamentar su

pensamiento filosófico en la necesidad de tomar un “punto de partida”.

  Por lo que la definición de un sistema de coordenadas rectangulares es: “un sistema de referencia formado por el corte perpendicular de dos rectas numéricas en un punto denominado origen del sistema. El corte de estas rectas determina en el plano cuatro regiones cada una de las cuales se va a denominar cuadrante.

  Las rectas numéricas trazadas se van a denominar eje de abscisas y eje de ordenadas. Como se describe a continuación:

  POLAR AL SISTEMA RECTANGULAR Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas.

  Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

  2.- Transformar las coordenadas polares (5,135 ) al sistema rectangular, graficando los resultados. 3.- Transformar las coordenadas polares (4,145 ) al sistema rectangular, graficando sus resultados. 4.- Transformar las coordenadas polares (6,240 ) al sistema rectangular, graficando los resultados.

  1.3. TRANSFORMAR COORDENAS DE UN PUNTO DEL SISTEMA

  RECTANGULAR AL SISTEMA POLAR

  Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x, y), se tiene que la coordenada polar r es:

  EJEMPLO 1: Convertir las coordenadas ( - 4 , 5 ) al sistema polar y graficar los resultados.

  Solución: r = θ= arc tan

  • r =

  θ= arc tan r = θ= arc tan(- 1.25)

  o

  r = θ= - 54.34 r = 6.41

  Debido a que el punto se encuentra en el segundo cuadrante, el ángulo es

  o negativo por lo que se le debe de sumar a este resultado 180 . o o o + 180 = 128.65 .

  θ= - 54.34 graficando los resultados.

  4.- Por medio de una tabulación, calcular el valor de “r”, asignándole valores a

  ; tales como: 0 , 30 , 45 , 60 , 90 , 120 , 135 , 150 , 180 , 210 , 225 , 240 , 270 300 , 315 , 330 , 360 . Trazar la grafica de la función: r = 1 + cos . r = 1 + cos . Ѳ

  30

1.4. CALCULAR LA DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA:

  Conociendo las coordenadas del punto P

  1 (x 1 , y 1 ) y las coordenadas del punto

  P

  2 (x 2 , y 2 ), se trata de encontrar las coordenadas de un tercer punto P r (x , y )

  que divide al segmento P

1 P 2 . Esto quiere decir que al dividir una recta en una

  razón dada “r”, sus proyecciones en los ejes cartesianos están divididos en una misma razón, al establecer un punto sobre una recta éste punto la divide en una razón “r “, como puede observarse en la siguiente figura:

  Ejemplo1: Hallar las coordenadas del punto P (x, y) que divide al segmento cuyos

  r extremos son los puntos A (1,1) y B (6, 6) en una razón tal que: r = 2/3.

  Solución: X r = x 1 + r (x 2 – x 1 ) Y r = y 1 + r (y 2 – y 1 )

  3.-Uno de los puntos extremos de un segmento de recta es el punto P

  1 ( 7 , 8) y

  el punto que divide en una razón r = 1 / 5 es el punto P r (15 , 10). Hallar el otro extremo.

1.5. DISTANCIA:

  

La distancia expresa la proximidad o lejanía entre dos objetos, o el intervalo de tiempo

que transcurre entre dos sucesos. También se emplea como expresión para indicar

una relación de alejamiento Efectivo entre dos personas: el desafecto.

1.5.1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:

  Se denominaA(x

  1 ,y 1 ) y B(x 2 ,y 2 ) del plano

  a la longitud delque tiene por extremos A y B. Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación: Ejemplo 1: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1)

  Ejemplo: Calcular el punto medio del segmento cuyos extremos son los

  puntos: A (3,

  • –2) y B (- 5, 4):

  Solución: Primero: Se calculan las distancias de los puntos: AB, BC y CA.

  Distancia de AB: Distancia de BC: Distancia de CA: Segundo: Para calcular el perímetro se suman los valores de las distancias: P =

  3.- Encontrar el perímetro del polígono cuyos vértices son los puntos A(-3 , -1) , B(0 , 3) , C(3 , 4) , D(4 , 1).

  5.- Dados los siguientes puntos A (6 , 7) , B(-8 ,1) y C(-2 , -7). Encontrar las coordenadas del punto que divide el lado BC en una razón dada r = ¾.

  7.- Los vértices de un triangulo rectángulo son los puntos P( 8 , 6) , Q( - 3 , 3) y R(1 , -1). Encontrar las coordenadas del centro de la circunferencia circunscrita al triangulo y hallar la longitud del radio.

  NOTA: La hipotenusa de un triangulo rectángulo es el diámetro de la circunferencia circunscrita.

1.6. FUNCIÓN LINEAL COMO LUGAR GEOMÉTRICO EN DIFERENTES SISTEMAS DE REFERENCIA.

  Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo contradominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado. F(x) = a x + b; donde a y b son números reales, es una función lineal Ventajas de las funciones lineales: Una función lineal tiene las ventajas de representarse o caracterizarse por medio de tablas o gráficas, la variación de una variable con respecto a otra o mejor dicho la variación de la variable dependiente con respecto a la variable independiente.

  Usando funciones lineales podemos resolver problemas de la vida diaria en forma cotidiana empleamos ésta para resolver problemas de costos, compras, traslados, cálculos de perímetros, pero sobre todo su aplicación en la vida cotidiana es en el sector empresarial en el aspecto económico o físico cuyos comportamientos se comprueban a través de las gráficas ya sean lineales creciente o decreciente.

  CÁLCULO DEL ÁNGULO DE INCLINACIÓN.

  Ense denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal, por ejemplo:

  Pendiente de una carretera

  ANGULO DE INCLINACION DE UNA RECTA ( )

  Se llama ángulo de inclinación de una recta al formado por la dirección positiva del eje “x” y la recta “L” cuando ésta se dirige hacia arriba, observar la figura siguiente: pasa por los puntos: P (1 , 6) y P (5 , - 2).

  1

  2

  m = = = -

  2 2 ) = -63.43 θ = arctan (-

  • 180 = 116.57 θ = - 63.43
pasa por los puntos: P (-1, -5) y P (5 , 4).

  1

  2

  2.25

  2.25

  m = = = - ) = -66.03

  θ = arctan(-

  • 180 = 114 θ = -66.03
cuyos vértices son: A(2 ,6) , B(5 , 1) , C(-1 , - 6) y D(- 4 , - 1) , forman un paralelogramo.

  Nota: Para saber si un cuadrilátero es un paralelogramo, los lados opuestos deben tener pendientes iguales.

DOS RECTAS.

  1. Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales. Esto resulta claro observando que dos rectas cualesquiera, no horizontales, paralelas entre si cortan el eje x formando ángulos iguales, pues estos son ángulos correspondientes entre paralelas; las dos rectas tienen el mismo ángulo de inclinación y, por tanto, la misma pendiente, pues ésta es la tangente de dicho ángulo. Si a las dos rectas las llamamos L

  1 y L 2, la condición de paralelismo se

  expresa: L = L = m , o sea que:

  1

  2

  1

  2

  “si solo si” m

  1 = Tan 2 .

  Tan α α Aplicando el concepto de pendiente, demostrar que los puntos A (- 3, 1), B(4 , - 2) y C(2 , 3) ; son los vértices de un triangulo rectángulo y comprobar su perpendicularidad.

  Nota: Dos rectas son perpendiculares entre sí cuando dos de sus pendientes son reciprocas y de signo contrario.

  B(- 2 , - 5) y la recta C(0 , 4), D(1 , - 6) son perpendiculares o paralelas entre sí

  CALCULO DEL ÁNGULO DE INCLINACIÓN ENTRE DOS RECTAS A PARTIR DEL CONCEPTO DE PENDIENTES.

  Definición:

  Sean las rectas L y L cuyas pendientes son m y m respectivamente. Y el

  1

  2

  1

  2

  y el ángulo formado por ángulo formado por la recta AB y el eje “x” igual a la recta BC con el mismo eje igual a El ángulo formado por las letras AB y BC lo designaremos como ángulo θ.

  L

  2

  1

  θ. L . θ.

  1

  2

  ∞ ∞

  1

  2 :

  2

  2 .m 1 ) = m

  Tan 45 = 1 = 1(1 + m

  =

  Tan θ

  = :

  Tan θ

  Solución: De la formula de la tangente dejamos a m

  que la pendiente m

  2 .

  de L

  2

  de 2/3 . Calcular la pendiente m

  1

  de L

  1

  • – m
Hallar los ángulos interiores del triangulo cuyos vértices son: A (- 3, -2), B (2, 5) y C (4, 2). Aplicando la definición de ángulo entre dos rectas.

OBJETIVOS PARTICULARES:

  • Determinar la ecuación de una recta
  • Encontrar la forma simplificada de una recta
  • Transformar una ecuación a su forma general
  • Aplicar la forma simétrica de una recta a problemas
  • Encontrar la forma normal de una recta - Calcular la distancia que hay de un punto a una recta.

  

Recordando que la que la ecuación de una recta es una expresión algebraica

  en dos variabl es “X” y “Y” y que además representa un lugar Geométrico; la cual puede ser:

  La Ecuación punto pendiente La ecuación que pasa por dos puntos La Ecuación de pendiente y ordenada al origen La Ecuación simétrica La Ecuación general y Hallar la ecuación ordinaria y general de la recta que pasa por el punto A (2, - 4) y que tiene una pendiente de - 1/3

  Y + 4 = - 1/3(x

  • – 2) 3y + 4 = - x + 2 x + 3y +4 = 2 x + 3y +2 =0

  Ejemplo2: Hallar las ecuaciones ordinaria y general de la recta que pasa por el punto

  Hallar las ecuaciones ordinaria y general de la recta que pasa por el origen y tiene un ángulo de inclinación de 120 . Sabiendo que m = Tan 120 .

  Solución: m = Tan 120 m= - 1.73 y = m (x )

  1

  1

  • – y – x y
  • – 0 = - 1-73 (x – 0) y = - 1.73 x Ec. Ordinaria Para la Ec. Gral resolvemos: 1.73 x +y = 0; Ec. Gral.
Obtener la ecuación ordinaria y general de la recta que pasa por el punto A(1, 5) y tiene pendiente m = 3/2. Construir su gráfica.

  ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS. La ecuación de la recta que pasa por dos puntos P

  1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ), está

  dada por la siguiente expresión:

  • Donde X

  1

2 Porque si X 1 = X 2 la recta es para ≠ de X lela al eje “Y”.

  Ejemplo1:

Hallar las ecuaciones ordinaria y general de la recta que pasa por los puntos

  P

  1 (- 2 , - 3) y P 2 (4 , 2).

  Solución:

  

Hallar las ecuaciones ordinaria y general de la recta que pasa por el punto

P (-3 ,1) y es paralela a la recta determinada por los puntos: A (0, -2) y B (5 , 2).

  Solución:

  Como se conoce un punto de la recta-

  1 , solamente es necesario

  • – Pedida L
  • – Obtener su pendiente la cuál es la

  Misma que la de la recta paralela L 2 . m= Y

  2 1 / X

  2

  1

  • – Y – X m = 2
  • – (-2) / 5 – 0 m = 2 + 2 / 5 m = 4 / 5
Obtener las ecuaciones ordinaria y general de los tres lados de un triangulo cuyos vértices son: A ( 4 , 2) , B (-5 , 7) y C (2 , 5).

  Obtener las ecuaciones ordinaria y general de los tres lados de un triangulo cuyos vértices son: A (0 , 0) , B (2 , 4) y C (6 , 3).

  ECUACION DE LA RECTA DE PENDIENTE “m” Y ORDENADA AL ORIGEN “b”. (Es decir la intersección de la recta con el eje “Y”).

  Esta forma de la ecuación de la recta se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

  La ecuación de la recta de pendiente “m” y ordenada al origen “b” está dada por la siguiente expresión:

  

Y = m x + b

  Ejemplo1: Obtener las ecuaciones ordinaria y general de la recta, sabiendo que su ordenada al origen es b = 7 y tiene de pendiente m = -13, con los datos que se tienen, construir su gráfica.

  Utilizamos la ecuación: Y = m x + b

  Y = -13 x + 7; Ecuación ordinaria Determinar el ángulo de inclinación y la ordenada al origen de la recta

  5X + 2Y – 6 =0.

  Solución: De la ecuación dada, Despejamos a “Y”.

  5x + 2y

  • – 6 = 0 2y = - 5x +6

  Y = - 5x / 2 + 6 / 2 Y = - 5 / 2 X +3

  Del despeje anterior podemos Observar que m = - 5/2 y b = 3

  Como el valor de “m” es negativo, La recta forma un ángulo obtuso.

  Θ = ang tan (m) Obtener las ecuaciones ordinaria y general de la recta, que tiene una pendiente m = 3/2 y que determina sobre el eje “Y” a la altura de -9.

  La forma simétrica es la forma donde la recta toca a dos puntos de los ejes sea abscisa o sea ordenada es decir a y b. Lo cual puede apreciarse en la siguiente figura: La expresión q ue determina una ecuación de la recta en su forma simétrica es la sig uiente: la abscisa en el origen de a = x = Intersección con el eje “x” o la recta. la ordenada en el b = y = Es la intersección con el eje “y” o

  Analiza las siguiente grafica, y encuentra la ecuación de la recta en su forma simétrica, así como su ecuación general.

  Solución: X = a = 2 Y = b = 4.

  La ecuación a utiliza es:

  • = 1 Ec. Simétrica

  = 1 = 1

  4x + 2y = (1)(8) 4x +2y = 8 Dada la ecuación de la recta 5x

  • – 2y – 10 = 0; Encontrar los puntos de intersección donde corta a los ejes coordenados, utilizando la ecuación en su forma simétrica de la recta.

  Solución: De la ecuación dada, pasamos -

  Al 2 miembro el término independiente:

  5X

  • – 2Y – 10 = 0 5X - 2Y = 10, y dividimos toda la ec. 5x/10
  • – 2y/10 = 10/10
    • = 1; de donde: a = 2, b = - 5
    Dada la ecuación 3x

  • – 4y +2 = 0 , encontrar los puntos por donde corta a los ejes coordenados, utilizando la ecuación en su forma simétrica.
Hasta el momento hemos estado estudiando las diferentes formas de la ecuación de la recta y en todos los casos hemos llegado a obtener lo que se llama ECUACION GENERAL DE LA RECTA, en su forma: A x + B y + C = 0, la cual es una ecuación de primer grado respecto a sus coordenadas (x, y).

  Además de la forma general de la recta podemos obtener los datos de la pendiente (m) y las intersecciones c on los ejes “x” y “y” las cuales se presentan a continuación: m = tan θ = - (pendiente) a = - (abscisa en el origen)

  Sen Cos P = α = α =

  DONDE: W = ángulo de inclinación de la recta P = Distancia del origen a la recta.

  Con estos valores se calcula el ángulo de inclinación de la recta y su distancia al origen, obteniéndose las siguientes expresiones: Donde:

  P =

  Transformar la ecuación de la recta 4x – 7y – 27 = 0, a su forma normal. Solución: Paso 1. Se calcula el valor del radical con la siguiente expresión: K = = =

  8.06 El signo del radical debe ser contrario al signo de C, en este caso -27, por lo que: K = 8.06 Paso 2. Se divide toda la ecuación entre el valor del radical:

  • = 0

   0.49 x - 0.86 y – 3.34 = 0

  Transformar la ecuación de la recta 10x + y - 4 = 0 a su forma normal: Solución: Paso 1: Se calcula el valor del radical con la formula ya conocida: El signo del radical debe ser contrario al signo del término C, en éste caso (- 4), Por lo que: K = 10.04.

  Dada la pendiente m = 4/7, y un punto P ( 5

  • – 1) por donde pasa; obtener la ecuación en su forma general y transformarla a su forma normal de la recta.
Calcular la distancia de la recta 5x -3y -15 = 0, al punto P (6, -1). Y grafica tus resultados.

  Solución: Se aplica directamente la formula: d = d = d

  =

  d = d = = 3.08 d

  3.08 Encuentra la forma normal de las ecuaciones:

a). 2X + 3Y – 5 =0.

  b). 3X

  • – y + 5 = 0

  DESIGUALDADES: Una desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra, la cual relaciona los siguientes símbolos:

  Que se lee mayor que

  • < Que se lee menor que ≥ Que se lee mayor que ≤ Que se lee menor que

  PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES QUE DEBES CONOCER: 1.- Si a los dos miembros de una desigualdad se le suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no cambia; por ejemplo: Si a > b; sabiendo que: a = 5 , b = 4 , c = 3 a +c > b +c a

  • – c > b - c
Resolver la siguiente desigualdad (inecuación) encontrando el límite que le corresponde: 2x

  • – 3 > x + 5 2x
  • – x > 5 + 3 x > 8 comprobando para un valor mayor que 8 y menor que 8 2x
  • – 3 > x + 5 2x -3 > x + 5
  • – 3 > 7 + 5 2(9) – 3 > 9 + 5

  14

  • – 3 > 12 18 – 3 > 14 11 > 12 15 > 14

  Ocho

  es límite inferior de “x”; es decir que la desigualdad dada solo se verifica para los valores de “x” mayores que ocho. corresponde:

  2

a). 6(x + 1) – (2x – 4) (3x + 2) < 3(5x + 21).

  • – 4 &gt; 6 3x + 5 &gt; 14

  b). 3x +4 &lt; 16

  • 6
    • – x &gt; - 8
    • – 5y + 7 0, encontrar el área solución:

  Primero: Para resolver ésta inecuación, el símbolo de la desigualdad se

  cambia por el signo de igualdad, quedando la forma general de la recta: 2x -5y +7 = 0

  

Segundo: Se aplican las formulas para calcular las intersecciones con los ejes

  “x” y “y”, o sea:

  a = - = - = - 3.5 b = - = - = 1.4 Tercero

  : Con los valores de “a” y “b” se localizan en el plano cartesiano y se traza la recta:

  • – 5 ≥ 0, Encuentra el área solución.
UNIDAD 2.

SECCIONES CONICAS: UN CASO GENERAL

  

OBJETIVO: El estudiante relacionará la forma de las curvas cónicas con su

  modelo algebraico en su forma particular y general y conocer{a las aplicaciones geométricas y físicas más importantes, a través de la revisión de la forma geométrica de las mismas, de la diferencia entre función y relación y la deducción algebraica de dicha expresión, para determinar algunas de sus propiedades y conocer la forma en que estos modelos se aplican en la solución de problemas de ésta y otras disciplinas como mecánica y óptica, entre otras.

  EXPLORANDO LAS CÓNICAS.

  Durante toda la historia de la matemática los conceptos han sido mucho más importantes que la terminología utilizada. Sin embargo, la influencia de

  LA CIRCUNFERENCIA

  Objetivos Específicos:

  Determinar la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria y general con centro: a).- En el origen.

  b).- En fuera del origen Determinar las coordenadas del centro y la longitud del radio dada la ecuación de la circunferencia.

  2

  2 Analizar, si toda ecuación de la forma; X + Y + DX + EY + F = 0; representa siempre a una circunferencia.

  Una circunferencia es el

Sólo posee longitud. Se distingue deen que este es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, la circunferencia es edel círculo cuya superficie contiene.

  ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA:

  

Centro: El punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

El mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y

  lógicamente, pasa por el centro;

  

El segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de

  longitud máxima son los diámetros;

  RecLa que toca a la circunferencia en un sólo punto; Punto de tangencia: El de contacto de la tangente con la circunferencia circunferencia para distinguirlo de cualquier otro punto P (x , y) del plano cartesiano.

  Ecuación Ordinaria de la Circunferencia.

  La Ecuación Ordinaria de la circunferencia de centro C (h, k) y radio ( r ), se llama así porque se encuentra sin resolver y está dada por la expresión:

  2

  2

  2 (x + (y = r ; – h) – k)

  Y para su estudio se presentan dos casos:

  I). CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y

  

II). CIRCUNFERNCIA CON CENTRO EN “FUERERA DEL ORIGEN” DEL

PLANO CARTESIANO.

  I). PRIMER CASO:

  Si el centro de la circunferencia es el origen “O” entonces: h = 0; k = 0

  Circunferencia con centro en fuera del origen (forma general de la circunferencia).

  Sea una circunferencia cuyo centro tiene por coordenadas (h, k) y de radio (r), la ecuación se deduce a partir de la ecuación ordinaria:

  2

  2

  2 (x + (y- k) = r – h)

  Resolviendo la ecuación anterior se llega a la ecuación en su forma general:

  2

2 X + Y + DX +EY + F =0

  Escribir las ecuaciones de la circunferencia de centro en el origen y radio 7. Dar por lo menos cuatro puntos por donde pasa la curva y obtener sus ecuaciones ordinaria y general. Solución: El centro de la circunferencia es el origen: C (0, 0); y su r = 7

  Aplicamos directamente la ecuación ordinaria:

  2

  2

  2

  (x + (y = r

  • –h) – k)

  2

  2

  2

  (x + (y = (7)

  • – 0) – 0)

  2

  2

2 X + y = 7

  Para obtener la ecuación general terminamos de resolver:

  2

  2 X + Y = 49

  2

  2 X + y – 49 =0; ecuación general.

  Pero nosotros sabemos que la ecuación general de la circunferencia es:

  2

2 X + Y + DX + EY + F = 0

  Por lo que: DX = 0, EY = 0, F = 0

  Comprobación: Tomando cualquier punto por donde pasa la circunferencia;

  por ejemplo el punto P (7, 0), y lo sustituimos en la ecuación general:

  Escribir las ecuaciones ordinaria y general de la circunferencia cuyo centro es C (7, - 6) y que pasa por el punto A (2, 2).

  Solución: C (7, - 6) PA (2, 2) En este caso, como no tenemos el radio lo podemos calcular analíticamente mediante la siguiente fórmula:

  2

  2

  2

  (x + (y = r donde: r =

  • – h) – k) r = r = r = = Una vez teniendo el radio, ya podemos encontrar las ecuaciones que se piden:

  2

  2

  2

  (x + (y = r

  • – h) – k)

  2

  2

  (x + (y =

  • – 7) – (-6))

  2

  2 (x - 7) + (y + 6) = 89 Ecuación ordinaria.

  Para la ecuación general resolvemos:

  Ejemplo3:

  Hallar las ecuaciones ordinaria y general de la circunferencia de centro C (-3, 3) y que pasa por el punto de intersección de las rectas: L

  1 = 3x + 4y + 6 = 0

  L = 5x + 6y + 8 = 0

  2 Nota: El punto de intersección de las rectas L 1 y L 2 , es por donde pasa la

  circunferencia, y se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones dado: Resolviendo por el método por suma y resta: L

  1 = 3x + 4y + 6 = 0 3x +4y = -6 15x + 20y = -30

  L

  2 = 5x + 6y + 8 = 0 5x +6y = -8 -15x

  • – 18y = 24

  2y = - 6 Y = - 6 / 2 = -3

  Para encontrar el valor de “x”, solo sustituimos el valor de “Y” en la ecuación de L : 3x + 4y + 6 = 0

  1

  3x +4(- 3) + 6 = 0

  Finalmente; teniendo el centro C (2, - 3) y el radio r = sustituimos estos valores para las ecuaciones ordinaria y general:

  2

  2

  2

  (x + (y = r

  • – h) – k)

  2

  2

  2

  (x + (y = ( )

  • – (-3)) – 3)

  2

  2

  2

  (x +3 ) + (y = ( )

  • – 3)

  2

  2

  2

  2

  2 X + 2(x)(3) + (3) + y - 2(y)(3) + (3) = ( )

  2

  2 X + 6 x +9 + y -6 y + 9 = 61

  2

  2 X + y +6 x - 6 y +9 +9 = 61

  2

  2 X + y +6 x - 6 y +18

  • – 61 = 0

  2

  2 X + y + 6 x -6 y – 43 = 0, Ecuación General. Ejemplo 4: Escribir las ecuaciones ordinaria y general de la circunferencia de radio r =5 que tiene de centro el punto de intersección de las rectas: L

  1 = 2x + 7y +9 =0 y L 2 = 3x

  • – 2y - 24 = 0 Nota: Sabiendo que la intersección de las rectas de L L es el centro de la

  1

  2

  circunferencia, resolvemos por el método de suma y resta el siguiente sistema de ecuaciones: L = 2x + 7y +9 =0

  1 L 2 = 3x

  • – 2y - 24 = 0
Hallar las ecuaciones ordinaria y general de la circunferencia de centro C (-1, 2), y que es tangente a la recta L = 3x - 4y - 4 = 0

  Nota: En este caso, el radio es l

  a distancia del centro “C” a la recta, por lo que aplicaremos la formula de la distancia de un punto a una recta para obtener este dato.

  Solución: En éste caso, el radio es la distancia del centro

  “C” a la recta; por lo que Encuentre las ecuaciones ordinaria y general de la circunferencia de centro C (-4 ,3), la cual es tangente al eje de coordenadas “Y”. Nota: En este caso el radio “r” es igual a la distancia del centro “C” al punto de tangencia “T” cuyas coordenadas son (0, 3).

  Los puntos extremos de uno de los diámetros de una circunferencia son: A (-3, 5) y B(7 , -3). Hallar sus ecuaciones ordinaria y general y representarla gráficamente.

  Nota: En este caso, no se conoce ni el centro ni el radio de la circunferencia, pero por geometría elemental se sabe que el centro “C” es el punto medio del diámetro AB.

  Hallar las ecuaciones ordinaria y general de la circunferencia cuyo centro es C (5, -2) y que pasa por el punto P (-1 ,5). Nota: En este caso no se conoce el radio, pero éste es igual a la distancia del centro de la circunferencia al punto P.

  Hasta ahora hemos estudiado las ecuaciones de la circunferencia tanto ordinaria como en su forma general, la cual puede escribirse:

  2

2 X + Y + DX + EY + F = 0 .

  A continuación vamos analizar si toda ecuación de la forma general representa siempre a una circunferencia, para lo cuál nos apoyaremos en la ecuación ordinaria definida por:

  2

  2

  2

  (x + (y = r

  • – h) – k)

  EJEMPLO: 1

  Por el método de completando cuadrados; indique si la ecuación general representa a una circunferencia, un punto o ningún lugar geométrico:

  2

2 X + y +8x – 14y +66 =0 PASO1

  : Agrupamos términos en “X” y en “Y” pasando el termino independiente al lado derecho:

  2

  2 (x + 8x + ) + (y – 14y + ) = - 66 PASO2

  : Completamos cuadrados en “X” y en “Y” os en “X” y en “Y” y sumamos al 2

  (x - 10x + 25) + (y +10y + 25) = - 50 +25 +25 (x - 10x + 25) + (y +10y + 25) = 0 PASO3: factorizar los trinomios

  2

  2 (x + (y + 5) = 0 – 5)

PASO4: Identificamos el centro y el radio de la circunferencia cambiándoles de

  signo a los valores obtenidos, o sea: C (5,-5) y r= 0 Nota: De acuerdo a los resultados obtenidos; el radio se anula o sea que r =0, la grafica se reduce a un punto C (5, -5), por lo que se tiene una circunferencia puntual.

  EJEMPLO 3:

  Por el método de completando cuadrados; resolver la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P (-3 ,5) y es concéntrica a la ecuación

  2

  2

  dada: X + Y + 14X

  • – 10Y - 26 = 0. Encontrando el centro y el radio e indicar el tipo de curva a la que pertenece.

  3.4 PARABOLA: Objetivos específicos: Definir que es una parábola y describir sus elementos.

  Determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen. Determinar la ecuación de la parábola con vértice fuera del origen. Determinar la forma general de la ecuación de una parábola Determinar los elementos de una parábola dada su ecuación.

  Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. Al punto fijo se le llama foco (F) y la recta fija directriz (dd

  l ).

  ELEMENTOS DE UNA PARABOLA:

  l Recta fija que sirve para definir la parábola. l) EJE DE LA PARABOLA (AA : l Es la recta que pasa por el foco F y es perpendicular a la directriz (dd ).

VERTICE DE LA PARABOLA (V):

  Es el punto (V) de intersección de la parábola con su eje y además es el punto

  l medio entre el foco y la directriz.(dd ). l LADO RECTO O ANCHO FOCAL DE LA PARABOLA (LL ):

  Es el segmento de recta perpendicular al eje que pasa por el foco o eje de simetría.

PARAMETRO (P):

  Es la distancia dirigida del vértice (V) al foco (F)

   O O Abriendo hacia arriba. Abriendo hacia abajo. “Eje de las Y” Eje de las Y”

  DEL ORIGEN 1.- Si el eje de la parábola es paralelo al eje “X” las ecuaciones son de la forma: (y - k)² = 4p(x - h) Ecuación de la parábola y sus elementos son: Foco (h + p, k) Directriz x = h – p ; para p &gt; 0 X = h + p ; para p &lt; 0 Lado recto: Lr = 4p Eje focal y = k

Donde: L r = |4 p | es la magnitud del lado recto y siendo | p | la

longitud entre el foco y el vértice. Si p &gt; 0 la parábola se abre hacia la derecha. Si p &lt; 0 la parábola se abre hacia la izquierda.

  es paralelo al eje “Y” las ecuaciones son de la forma:

(x - h)² = 4p (y - k) Ecuación de la parábola y sus elementos son: Foco (h, k + p) Directriz y = k – p ; para p &gt; 0 Y = k + p ; para p &lt; 0 Lado recto: L r = 4p Eje focal x = h Si p &gt; 0 la parábola se abre hacia arriba. Hallar la Ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en el punto F (4, 0) y V (0, 0).

  

Solución: Dado que la parábola abre hacia la derecha aplicaremos la formula

  que le corresponde:

  2 Y = 4 PX La ecuación de la directriz es:

  2 Y = 4 (4) X, o sea: X = - P

  2 Y = 16X X = - 4

  La ecuación del lado recto es: Lr = Lr = = 16

  Una parábola tiene su vértice en el origen, V (0, 0) y su foco tiene de coordenadas F (0, - 7/2). Encuentre sus ecuaciones y todos sus elementos necesarios para construir su grafica:

  Solución: Por las coordenadas del foco podemos observar que la parábola

  2 abre hacia abajo, por lo que aplicaremos la siguiente fórmula: X = 4PY.

  Primero determinamos el parámetro P, es decir; la distancia dirigida del vértice al foco, que es igual a - ; y sustituimos en la ecuación:

2 X = 4 PY

  2

  2

  2 X = 4 (- Y = - Y; Donde: X = -14 Y; o sea: X + 14Y = 0.

  La ecuación de la directriz dd es: Y = - P; o sea: Y = - (- ) =

  • – A partir de la formula General; obtener todos los elementos de la parábola

2 Y

  • – 12X – 6Y + 33 = 0; y construir su grafica: Solución: Observa el término cuadrático; Cuando el termino cuadrático es “Y” la parábola es horizontal, por lo tanto utilizamos las siguientes formulas; para determinar: h, k, p: D = -12 h = - p = - k =
    • E = - 6 h = p = - k = =
    • F = 33 h = 6 p = 1.5 k = = - 0.5

  De los resultados anteriores; las coordenadas del vértice son: V (h, k), y la distancia del vértice al foco es p = 1.5 Las coordenadas del foco son: F (h + p, k) = (6 + 1.5, - 0.5) = (7.5, - 0.5)

  3.5 ELIPSE

  Objetivos elementales: Definir el concepto de elipse y describir sus elementos.

  Determinar la ecuación horizontal de la elipse con centro en el origen. Determinar la ecuación vertical de la elipse con centro el origen. Determinar la ecuación de la elipse con centro en cualquier punto del plano cartesiano. Determinar la ecuación general de la elipse.

  Una elipse es el conjunto de todos los puntos del plano cuya suma de sus distancias a dos puntos fijos es igual a una constante positiva. Los puntos fijos

  1 son los focos FF y la constante positiva.

  1

1 BB = Eje menor acotado por las intersecciones de la elipse con la recta perpendicular al eje mayor que pasa por el centro y tiene de longitud = 2b.

  Finalmente es importante mencionar la relación pitagórica que existe entre las constantes a, b, c; para el cálculo de algunas distancias, donde a es la mayor de las tres y está dada por:

  2

  2

  2 a = b + c

  2

  2

  2 b = a - c

  2

  2

  2 c = a - b Excentricidad de la elipse

  La excentricidad es otro elemento importante relacionado con la elipse, y se define como la razón que hay entre las constantes c y a, que determinan la configuración de la misma, y está dada por: e = ; y es un numero comprendido entre 0 y 1.

3.6 Deducción de la ecuación de la elipse con centro en el

  Encuentra la ecuación de la elipse con vértice en el origen V (4,

  ´ 0) y un extremo de su eje menor en B (0, -2).

  Solución: Dado que su vértice está sobre el eje “X” se aplica la siguiente fórmula: De los datos del enunciado tenemos que: a = 4 b =2

  2

  2

  a = 16 b =4 Sustituyendo en la ecuación tenemos:

  • = 1
Pr o b le m a 2 : , Dada la ecuación reducida de la elipse Hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.

  Solución:

  Problema 3:

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