PASO DE SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO A DECIMAL Y VICEVERSA

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  Para lograr convertir un lenguaje

  ELECTRÓNICA DIGITAL

  en otro, el sistema consiste en hacerle corresponder a cada

1. Necesidad de los sistemas binarios

  carácter a introducir un nº decimal (los que nosotros El funcionamiento de la mayor parte de los objetos electrónicos actuales, como manejamos a diario); estos teléfonos, calculadoras o computadoras, está basado en la idea de que toda información números decimales los se puede traducir y descomponer en números, en una cantidad de dígitos. traducimos al código binario, o viceversa. El sistema de numeración que emplean todos los aparatos digitales en la actualidad es el sistema binario. Esto se debe a que la única información que podemos transmitir por

  Puedes ver en la tabla de la un cable de un circuito electrónico es la de que pasa o no pasa corriente. Nosotros derecha esta correspondencia. Si podemos hacer corresponder estos dos estados con los valores 1 y 0 del sistema de te fijas cualquiera carácter se

  numeración binario. Así la unidad mínima de información será el bit, que podrá

  puede representar mediante un tomar el valor 0 o 1. máximo de 8 bits (1 byte):

  (El sistema decimal genera demasiadas complicaciones ya que cada dígito de un 255(sistema decimal) = 2.100 + 5.10 + 5.1 número puede tener 10 valores distintos, que varían del 0 al 9).

  7

  6

  5

  4

  3

  2

  1

  11111111 (sistema binario) = = 1.2 + 1.2 + 1.2 +1.2 +1.2 +1.2 + 1.2 + 1.2 = Toda la información que nosotros queramos introducir en el ordenador (números,

  =1.128+1.64+1.32+1.16+1.8+1.4+1.2+1.1 = 128+64+32+16+8+4+2+1= 255 letras, signos, símbolos,…) tiene que ser traducida a un lenguaje comprensible para el ordenador, es decir, combinaciones de 0 y 1, combinaciones de bits. Este lenguaje en

  PASO DE SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO A DECIMAL Y

  que toda la información va codificada como ceros y unos es lo que denominamos

  VICEVERSA sistema de numeración binario o código binario. También sucede al revés, toda la

  ▪ SISTEMA DECIMAL: Se compone de 10 dígitos, que van desde el 0 al 9. Los información que nos llega desde el ordenador tiene que ser traducida desde el código distintos números se escriben como una combinación de estos dígitos. El valor de cada binario a nuestro lenguaje. dígito se asocia a una potencia de base 10 dependiendo de la posición que ocupa en el conj unto: unidades, decenas, centenas,…

  Los primeros números decimale s serían: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

  2

  1 Ejemplo: 625 = 6.10 + 2.10 + 5.10 = 6.100 + 2.10 + 5.1 = 600 + 20 + 5

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  EJEMPLO 1. Realiza el paso de binario a decimal de los números: ▪ SISTEMA BINARIO: Se compone de 2 dígitos, 0 y 1. Cualquiera número se escribe

  A) 101101 (45)

  B) 11001101 (205) como una combinación de esos dígitos. El valor que tome cada dígito dependerá de la posición que ocupen en el conjunto, siendo siempre múltiplos de potencias de base 2. Los primeros números en el sistema binario: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111,… EJEMPLO 2. Realiza el paso de decimal a binario. Ejemplo:

  A) 109 (1101101)

  B) 182 (10110110)

  2

  1

  101 = 1.2 + 0.2 + 1.2 = 1.4 + 0.2 + 1.1 = 4+1 = 5 El número 101 en binario equivale DECIMAL HEXADECIMAL BINARIO al número 5 decimal. Existen otros sistemas de numeración

  0000 muy empleados en sistemas informáticos ▪ PASO DE BINARIO A DECIMAL: Como vimos en el ejemplo anterior, podemos

  1 1 0001 y de control, por ejemplo el sistema escribir el número como suma de potencias de base 2.

  2 2 0010

  hexadecimal

  . En este caso la base del Ejemplo:

  3 3 0011 sistema es el 16, siendo la equivalencia

  3

  2

  1

  1011 = 1.2 + 0.2 + 1.2 + 1.2 = 1.8 + 0.4 + 1.2+ 1.1= 8 + 2 + 1 = 11 4 4 0100 con el sistema de numeración binario la 5 5 0101 que expresamos en la tabla siguiente:

  ▪ PASO DE DECIMAL A BINARIO: Tenemos que dividir el número decimal entre 2 Un número expresado en hexadecimal

  6 6 0110 de forma sucesiva hasta que el cociente sea igual a 1. Después escribimos, de derecha a podría ser el C0, que si pasamos a

  7 7 0111 izquierda, el último cociente (1) y todos los restos en orden inverso al que los sistema decimal resultaría el 192

  8 8 1000 obtuvimos.

  1

  1 C·16 + 0·16 = 12·16 =192

  9 9 1001 Ejemplo:

  10 A 1010 Este sistema de numeración nos permíte

  11 B 1011 expresar los números del 0 al 255 de una

  12 C 1100 forma muy simple. Si tenemos una conexión para intercambio de

  13 D 1101 información con 16 cables, cada uno de

  14 E 1110 esos cables vendrá asociado con un

  15 F 1111 dígito del sistema hexadecimal, desde el 0 hasta el F. Así con dos impulsos eléctricos podremos indicar un número del 0 al 255, como en el código ASCII, o como el código de colores web.

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  El resultado será 1 cuando los productos a·b o a·c sean 1. Para representar el

  2. Álgebra de Boole

  comportamiento de una ecuación binaria empleamos las tablas de verdad, en la que

  LA HERRAMIENTA MATEMÁTICA PARA LA RESOLUCIÓN DE

  representamos todo los estados de las variables de entrada y los resultados de cada una PROBLEMAS: ÁLGEBRA DE BOOLE. de las operaciones, para obtener las variables de salida, en este caso el valor de la función S.

  A mediados del siglo XIX un matemático francés, llamado George Boole, desenvolvió una herramienta matemática para representar las formas del razonamiento lógico, de Una función lógica también la podemos pensar como las posibles combinaciones para forma que se pudiesen representar las proposiciones con dos valores, verdadero y falso. diferentes elementos eléctricos, en este caso Interruptores abiertos y cerrados. En el

  Las variables solo podían tomar esos dos valores, de la misma forma que en un sistema caso que nos ocupa de la función S, el esquema eléctrico sería: de numeración binario solo tenemos dos estados, el 1 y el 0. En nuestro caso estos valores representan los estados de un dispositivo: presencia y ausencia de tensión,

  La salida tendrá valor 1 interruptor cerrado o abierto. (tendrá corriente) cuando los

  S a b S

  interruptores a y b, o a y c 0 0 0 1 Para la formulación matemática, la electrónica digital considera una lógica de niveles estén cerrados.

  1 0 1 0 en función de los valores de tensión en los dispositivos. En principio consideraremos y 2 1 0 0 3 1 1 0 trabajaremos con las siguientes premisas: Nivel de tensión alto en los dispositivos (5V) asociado al valor 1 de la variable Nivel de tensión bajo en los dispositivos (0V) asociado al valor 0 de la variable.

  Esta lógica que establecemos de esta forma se denomina lógica positiva, y si lo Veremos que en muchos casos podremos simplificar las funciones aplicando las hiciésemos al revés (nivel de tensión alto asociado ó valor 0) se llamaría lógica propiedades del Álgebra de Boole, como la conmutativa y asociativa, o bien los negativa. postulados y teoremas que nos permiten simplificar funciones.

  OPERACIÓNES EN EL ÁLGEBRA DE BOOLE Operaciones.

  Una función lógica viene dada por la correspondencia de una variable binaria S en la Las operaciones que realizamos son tres: que su valor depende de una expresión algebraica formada por otras variables. Estas Suma + : a + b variables pueden estar relacionadas mediante las operaciones + y · Producto · : a·b

  Complement ación : a

  Por ejemplo: S = a·b +a·c

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  Propiedades.

  valor 1 siempre y cuando uno de los sumandos tengan valor 1, independientemente del valor del otro sumando. Tres propiedades fundamentales: a + 1 = 1 a ·1 = a

  Conmutativa: a + b = b + a a + 0 = a a ·0 = 0

  Asociativa: a + b +c = a+ (b + c) Postulados. a + a = a a · a = a

  Distributiva: a·(b+c) = a·b + a·c Los postulados son verdades que se cumplen para cualquiera a + ā = 1 a · ā = 0 a + (b·c) = (a+b)·(a+c) valor de las variables, y los podremos comprobar con la tabla de

  _ ā =a

  Aplicando la propiedad distributiva vemos que Debemos observar de que las variables a y ā son complementarias, siempre que una podemos representar la toma el valor 1 la otra tomará el valor 0. función S mediante interruptores de la

  ● Leyes de Morgan

  siguiente forma: El complementario de la suma es igual al producto de los complementarios

  Podemos representar entonces la tabla de verdad para este circuito-función: El complementario del producto es igual a la suma de los complementarios c b a b+c S= a·(b+c)

  0 0 0 0 0 0 1 0

  Ejemplo 3: Elabora la tabla de verdad para el siguiente

  0 1 0 1

  circuito. Cuál piensas que es la función de salida S?

  0 1 1 1

  1 1 0 0 1 1 0 1 1

  1 1 1 0 1 1 1 1 1

  1 Observamos que los productos solo toman valor 1 cuando los dos factores del mismo tienen ese mismo valor, siendo el resultado 0 en cualquiera otro caso. Las sumas toman

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  Puerta NOT, función lógica negación (complementación).

3. Representación de las puertas lógicas

  Puerta AND. Función lógica producto

  0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1

  S b a

  S=a+b >=1 a b a b b a S

  S=a·b S=a·b >=1 a b a b S=a+b

  a b a b

  0 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 1 0 &

  a b S

  0 0 1 1 1 0

  a S

  a b S

  Tenemos la representación ASA y DIN de la puerta AND, así como la tabla de verdad de la misma.

  0 0 0 0 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 1 1

  a b a b 1 S a

  La tabla de verdad para esta puerta lógica es la siguiente:

  Con esta puerta estamos realizando en un solo paso la misma función que realizaríamos empleando primero una puerta OR y posteriormente una NOT, esto es, realizamos una suma y posterior negación.

  Con el conjunto de estas tres puertas podremos representar las demás. Las expresiones matemáticas de las otras puertas lógicas se podrán escribir como combinación de las puertas NOT, AND y OR Puerta NOR.

  Esta puerta realiza la función de negación o complementación. Si en la entrada de la puerta hay tensión tendremos ausencia de tensión a la salida y Tendremos esta puerta en el circuito integrado 7404.

  S a

  Las puertas lógicas nos aparecen en circuitos integrados, como el circuito 7432 que dispone de cuatro puertas OR La tabla de verdad para esta puerta lógica es la que aparece a la derecha, y la representación mediante elementos eléctricos sería la siguiente:

  Puerta OR. Función lógica suma.

  a b S

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  1 1 1 0

  1

  1 0 1 1

  1

  1

  1 1 0 0 1 1 0 1

  1

  1

  0 0 0

  1 1 1 1

  1

  1

  1 &

  a b a b

  S a·b S a·b a b c

  1 0 0 1 1 0 1 0

  a b c a·c b (a·c) b b·c S

  S b a·c b·c (a·c) b

  4. Ejemplos de aplicación EJEMPLO 1: Obtenemos la función lógica a partir del esquema de un circuito.

  S b a S b a b a b a · ·

  Si aplicamos los Teoremas de Morgan vemos que podemos expresar la función que nos da esta puerta lógica de dos formas:

  S b a b a · En el circuito integrado 7402 tenemos cuatro puertas NOR de dos entradas.

  Puerta NAND.

  En este caso realizamos en una sola puerta la misma función que haríamos con las puertas AND y posteriormente NOT. También podríamos comprobar otra expresión para esta puerta lógica empleando los Teoremas de Morgan. Usaremos la puerta NAND de cuatro entradas representada en el circuito 7400.

  Con esta puerta lógica la salida solo es 1 si una de las entradas está activada. Nunca si lo están a la vez.

  _

  0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 0

  Como la última puerta del circuito es una puerta OR, en la salida tendremos la suma de las funciones de las entradas:

  S c b c a b · ) · (

  Si hacemos la tabla de verdad del circuito: Tenemos indicado primero todos los posibles valores de las entradas, ordenados de menor a mayor. Después tenemos calculado el valor en la salida de cada una de las puertas lógicas, para finalmente llegar al resultado de la función S.

  a b S

  0 0 0 1 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 0

  • • Puerta EXOR (OR exclusiva)

  a b S

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  1 1 1 0 0

   ___ S=a+b EXOR

   __ S=a·b NOR

  S=a+b NAND

  S=a·b OR

  S= ā AND

  extendida Símbolos IEC Ecuación Lógica NOT

  1 FUNCIÓN Simbología más

  1

  1

  1 1 1 1 0

  1

  1

  1

  EJEMPLO 2: Dada la función S= ā·b + a·(b + c) realizar la tabla de verdad, y representar el circuito con puertas lógicas Para realizar la tabla de verdad procedemos igual que en el ejemplo 1.

  1

  1 1 0 0 0 1 0 1 0

  1

  1

  1 0 1 1 1

  1

  1

  0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1

  6. Diferentes simbologías de puertas lógicas a b c ā b+c a·(b + c) ā·b S

  Consideramos las puertas NAND y NOR puertas universales, porque con estas dos puertas podemos implementar cualquiera función lógica. A continuación se exponen las equivalencias entre los diferentes tipos de puertas y las puertas universales.

  5. Puertas universales

  Para la representación del circuito partimos de las tres entradas, y vamos empleando las puertas lógicas apropiadas para cada caso.

   _ S=ā·b+a·b

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7. Ejercicios de aplicación

  a) 137

  b) 208

  c) 93 2) Pasa los siguientes números de Binario a Decimal

  a) 11000101 b)01001110

  c) 10111001 3) Obtén la función lógica del siguiente circuito, y haz la tabla de verdad correspondiente.

  4) A partir de las siguientes expresiones para funciones lógicas, obtén la tabla de verdad: a) ) ·( ·

  1)Pasa los siguientes números de Decimal a Binario

  b) ) ·( ) · ·(

  S a c b c b a a

  5) A partir de los siguientes esquemas de circuitos digitales, obtén la función que representan: 6) A partir de la siguiente tabla de verdad, obtén la función lógica y represéntala.

  7) Tenemos tres depósitos de agua de 5000, 6000 y 10000 litros. Queremos que se encienda una bomba de agua cuando quedan vacios dos de ellos, o cuando queda vacio el de 10000 litros. Realiza la tabla de verdad del circuito digital que cumple esas condiciones, y obtén la función de salida a partir de la tabla.

  8) Tenemos tres detectores de humo en el taller de tecnología; A, B y C. Queremos que se active una alarma de incendios cuando los tres detecten humo, o cuando lo detecten el B y el C a la vez. Realiza la tabla de verdad y representa el circuito empleando puertas lógicas.

  a b c S

  0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0

  F c b a b a

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